Сопряженная плотность импульса, следующая как сохраняющаяся величина с теоремой Нётер, из инвариантности относительно смещения самого поля, т.е. , дан кем-то .
С другой стороны, физическая плотность импульса, следующая как сохраняющаяся величина с теоремой Нётер, из инвариантности относительно переносов, т.е. , дан кем-то .
Кто-нибудь знает поучительную интерпретацию сопряженного импульса? Кроме того, почему мы в квантовой теории поля навязываем коммутационные соотношения с сопряженным импульсом вместо физического импульса?
(Для краткости все возможные индексы опущены)
Импульс, который вы называете есть импульс в определенном пространственном направлении. Импульс, который вы называете есть импульс в направлении в пространстве поля .
Например, рассмотрим вертикальные волны на горизонтальной струне. Поле" представляет собой вертикальное смещение струны в точке . Затем — обычный горизонтальный импульс, поскольку волны на струне движутся горизонтально, а — обычный вертикальный импульс, поскольку сама струна движется только вверх и вниз.
Сопряженный импульс в теории поля на самом деле является просто бесконечным обобщением сопряженного импульса в классической механике. Причина, по которой мы налагаем коммутационные соотношения с использованием сопряженного импульса, связана с предписанием Дирака о каноническом квантовании. Это хорошо объяснил Qmechanic в этом ответе .
Кратко резюмирую аргумент. Чтобы канонически проквантовать классическую теорию, вы должны сначала выразить ее в гамильтоновой форме. Это включает определение сопряженного импульса и наложение уравнений Гамильтона со скобками Пуассона. Затем вы превращаете скобки Пуассона в коммутаторы. Оказывается, сопряженный импульс — именно та переменная, которая заставляет этот подход работать математически.
Я не знаком с физической интерпретацией сопряженного импульса в теории поля, но мне было бы интересно услышать мысли других людей по этому поводу!
Сопряженный импульс электромагнитного поля это электрическое поле .