Вывод теоремы Биркгофа

Теорема Биркгофа в 3+1D доказана, например, (на физическом уровне строгости) в [1]. 1 и ссылка. 2. (Элегантное эквивалентное 1-страничное доказательство теоремы Биркгофа дано в ссылках 3-4.) Представьте, что нам удалось доказать$^1$что метрика имеет форму уравнения. (5.38) в работе. 1 или экв. (7.13) в работе. 2:

$$ds^2~=~-e^{2\alpha(r,t)}dt^2 + e^{2\beta(r,t)}dr^2 +r^2 d\Omega^2. \tag{A}$$

Это простое упражнение для вычисления соответствующего тензора Риччи$R_{\mu\nu}$, см. ур. (5.41) в работе. 1 или экв. (7.16) в работе. 2. Обозначение здесь

$$x^0\equiv t, \quad x^1\equiv r, \quad x^2\equiv\theta, \quad\text{and} \quad x^3\equiv\phi.$$ Уравнения Эйнштейна в вакууме читаются

$$R_{\mu\nu}~=~\Lambda g_{\mu\nu}~.\tag{E}$$

Аргумент теперь следующий.

1. Из

   $$0~\stackrel{(E)}{=}~R_{tr}~=~\frac{2}{r}\partial_t\beta$$ следует, что$\beta$не зависит от$t$.

2. Из

   $$0~\stackrel{(A)}{=}~\Lambda\left(e^{2(\beta-\alpha)} g_{tt}+g_{rr} \right) ~\stackrel{(E)}{=}~ e^{2(\beta-\alpha)} R_{tt}+R_{rr}~=~\frac{2}{r}\partial_r(\alpha+\beta)$$ следует, что$\partial_r(\alpha+\beta)=0$. Другими словами, функция$f(t):=\alpha+\beta$не зависит от$r$.

3. Определить новую координатную переменную$T:=\int^t dt'~e^{f(t')}$. Тогда метрика$(A)$становится

   $$ds^2~=~-e^{-2\beta}dT^2 + e^{2\beta}dr^2 +r^2 d\Omega^2.\tag{B}$$

4. Переименуйте новую координатную переменную$T\to t$. Тогда ур.$(B)$соответствует настройке$\alpha=-\beta$в уравнении$(A)$.

5. Из

   $$\Lambda r^2~\stackrel{(B)}{=}~\Lambda g_{\theta\theta} ~\stackrel{(E)}{=}~ R_{\theta\theta} ~=~1+e^{-2\beta}\left(r\partial_r(\beta-\alpha)-1\right) ~=~1-\partial_r(re^{-2\beta}),$$ это следует из того $$re^{-2\beta}~=~r-R-\frac{\Lambda}{3}r^3$$ для некоторой реальной постоянной интегрирования$R$. Другими словами, мы получили решение Шварцшильда-(анти)де Ситтера , $$e^{2\alpha}~=~e^{-2\beta}~=~1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2.$$

Наконец, если мы вернемся к исходному$t$координатная переменная, метрика$(A)$становится

$$\begin{align}ds^2~=~&-\left(1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\right)e^{2f(t)}dt^2 \cr &+ \left(1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\right)^{-1}dr^2 +r^2 d\Omega^2.\end{align}\tag{C}$$

Интересно, что метрика$(C)$является наиболее общей метрикой вида$(A)$которая удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна. Единственная свобода - это функция$f=f(t)$, что отражает свободу репараметризации$t$координатная переменная.

Использованная литература:

1. Шон Кэрролл, Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности , 2003.

2. Шон Кэрролл, Конспект лекций по общей теории относительности , глава 7. Файл в формате pdf доступен здесь .

3. Эрик Пуассон, «Инструментарий релятивиста», 2004 г.; Раздел 5.1.1.

4. Эрик Пуассон, Продвинутый курс по GR ; Раздел 5.1.1.

--

$^1$Здесь мы для удобства показываем, как Ref. 1 и ссылка. 2 уменьшить с

$$\begin{align} ds^2~=~&g_{aa}(a,r)~da^2 +2g_{ar}(a,r)~ da~dr \cr &+g_{rr}(a,r)~ dr^2 +r^2d\Omega^2\end{align} \tag{5.30/7.5}$$ к $$ds^2~=~m(r,t)~dt^2 +n(r,t)~dr^2 +r^2d\Omega^2. \tag{5.37/7.12}$$ Доказательство: определение функции $$n~:=~g_{rr}-\frac{g_{ar}^2}{g_{aa}}$$ и неточный дифференциал $$\omega~:=~da+\frac{g_{ar}}{g_{aa}}dr.$$ Тогда ур. (5.30/7.5) читает $$ds^2~=~g_{aa}\omega^2 +n~dr^2 +r^2d\Omega^2.$$ Функция$\sqrt{m}$в уравнении (5.37/7.12) можно рассматривать как интегрирующий множитель, делающий дифференциал$\sqrt{\frac{g_{aa}}{m}}\omega$точным, т.е. в форме$dt$для некоторой функции$t(a,r)$.

Вы делаете это строго, используя анзац для своей метрики и подключая его к обычным уравнениям поля Эйнштейна в вакууме или к чему-то «более топологическому»?

Если первое, то в самом общем анзаце,

$ds^2 = e^{f(t,r)} dt^2 - e^{g(t,r)} dr^2 - r^2 d\Omega^2$

вы получаете свою метрическую независимость от времени t с

{01}-й компонент тензора Риччи, который устанавливает производную по времени одного из ваших компонентов метрики в 0. Алгебраические комбинации других компонентов тензора Риччи дают вам отношения между функциями компонента метрики$f$и$g$, где-то по пути вы должны получить что-то вроде$\frac{d}{dt}[f(t,r)-g(t,r)] = 0$. Это дает вам независимость от времени$g_{11}$.