Вывод уравнения Дирака с использованием плотности лагранжиана для поля Дирака

Плотность лагранжиана для поля Дирака равна

$$\mathcal{L} = i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m \bar\psi\psi$$ Уравнение Эйлера-Лагранжа гласит $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi} - \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\right] = 0$$ Мы лечим $\psi$и $\bar\psi$как независимые динамические переменные. На самом деле проще рассматривать Эйлера-Лагранжа для $\bar\psi$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar\psi} - \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar\psi)}\right] = 0\\ \Rightarrow i\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\psi - \frac{\partial}{\partial x^\mu}[ 0] = 0\\ \Rightarrow i\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\psi=0$$ Частичное дифференцирование тривиально - помните, что $\bar\psi$и $\partial_\mu\bar\psi$рассматриваются как независимые. Мы восстанавливаем уравнение Дирака, как и ожидалось. Если бы вместо этого мы выбрали Эйлера-Лагранжа для $\psi$, мы бы нашли сопряженное уравнение Дирака.