Докажите, что плотность лагранжиана LL\mathscr{L}, которая порождает данный набор уравнений Эйлера-Лагранжа, не уникальна [дубликат]

Вспомните, откуда берутся уравнения Эйлера-Лагранжа: экстремальное действие. Итак, давайте посмотрим, что сделает добавление дивергенции к действию, которое, если вы помните, определяется как интеграл по нашему пространственно-временному многообразию,$\mathcal M$как

$$S[\varphi] =\int_{\mathcal M }\! \mathrm d^dr \ \mathcal L[\varphi,\nabla\varphi]$$ Мы добавим расходимость к лагранжевой плотности, положив $\mathcal L\rightarrow\mathcal L + \nabla\cdot f$, поэтому наше новое действие: $$\begin{align} S'[\varphi] &=\int_\mathcal M\! \mathrm d^dr \ (\mathcal L+\nabla\cdot f)\\ &=S[\varphi]+\oint_{\partial\mathcal M}\mathrm da\cdot f \end{align}$$ где мы использовали удивительную силу теоремы Гаусса, чтобы изменить наши $4$-мерный объемный интеграл по пространству-времени, к $3$-мерный интеграл по границе пространства-времени, $\partial \mathcal M$. Теперь мы требуем, чтобы $f$вести себя хорошо, в том смысле, что он исчезает на границе. Итак, мы видим, что действие не изменилось, поэтому оно будет иметь те же экстремумы, что и прежде, и, следовательно, те же уравнения Эйлера-Лагранжа.

Урок здесь заключается в том, что вы должны пытаться делать что-то независимо от координации. Тогда заполнение деталей в той или иной системе координат будет проще.