Вывод уравнения поля в теории Янга Миллса

Попытка показать, что

Д мю Ф мю ν → "=" ∂ мю Ф мю ν → + г А мю → × Ф мю ν → "=" 4 π Дж ν → ,

или (поправьте меня, если я ошибаюсь)

∂ мю Ф а мю ν + г ф а б с А мю б Ф с мю ν "=" 4 π Дж а ν .

изменяя действие

С "=" ∫ ( − 1 4 Ф мю ν а Ф а мю ν + Дж а мю А мю а ) г 3 Икс г т

Я знаю, как это сделать для обычного E&M (начиная непосредственно с уравнений Эйлера-Лагранжа), но не знаю, как поступить с этим дополнительным членом, возникающим из оператора Д мю .

Ответы (1)

Ковариантный дифференциальный оператор Д мю является Д мю "=" ∂ мю ( я г ) − я г А мю "=" ∂ мю ( я г ) − я г Т а А мю а , где ( я г ) является единичной матрицей и Т а являются образующими алгебры Ли.

У вас есть Ф мю ν "=" Д мю А ν − Д ν А мю , Который означает, что Ф мю ν является ковариантной величиной.

Из приведенных выше выражений и коммутационных соотношений [ Т а , Т б ] "=" я ф а б с Т с определяя алгебру Ли, вы получаете выражение Ф мю ν а :

Ф мю ν а "=" ∂ мю А ν а − ∂ ν А мю а + г ф а б с А мю б А ν с .

Теперь просто примените уравнения Эйлера-Лагранжа ∂ л ∂ А ν а − ∂ мю ∂ л ∂ ( ∂ мю А ν а ) "=" 0 .

Если я хочу явно написать Ф мю ν а Ф а мю ν будет ли первый срок ( ∂ мю А ν а − ∂ ν А мю а + г ф а б с А мю б А мю с ) ? А второй, с верхними индексами? Могу ли я написать ( η мю γ ∂ γ А дельта а η дельта ν − η ν р ∂ р А о а η о мю + ф а б с η κ мю А κ б η λ ν А λ с ) ? Кроме того, есть ли здесь f тензор Леви Чивиты? Борьба с обозначением индекса, извините.
@ user44212: 1) Вы получаете «контравариантные» количества. А а мю из «ковариантных» величин А ν а с помощью метрического тензора: А а мю "=" η мю ν А ν а . 2) ф а б с — вполне антисимметричная тензорная характеристика алгебры Ли. В частном случае, когда алгебра Ли с ты ( 2 ) , ф а б с "=" ϵ а б с , тензор Леви Чивита ( а , б , с ) в ( 1 , 2 , 3 )
Вывод уравнения поля в теории Янга Миллса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v