Вывод уравнения ракеты Циолковского с использованием скорости горения топлива

Question

Вывод уравнения ракеты Циолковского с использованием скорости горения топлива

Седрик Мартенс

Я пытаюсь понять происхождение Tsiolkovsky Rocket Equation.

Δ в "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} \frac{| Т |}{м_{0} - т Δ м} д т

$\Delta v= \int_{t_0}^{t_1} \dfrac{|T|}{m_0 - t\Delta m}dt$ Страница Википедии смутила меня здесь:

где $T$ тяга, $m_{0}$ - начальная (влажная) масса, а Δm - начальная масса минус конечная (сухая) масса.

Которое значит что

м_{0} - т Δ м "=" м_{0} - т (м_{0} - м_{д р у})

$m_0 - t\Delta m = m_0 -t(m_0-m_{dry})$

Если ракета стартовала в $t_0=0$ секунд и достигает сухой массы за $t_1 = 60$ секунд, затем в $t_1$ следует ожидать ускорения

а (т_{1}) "=" \frac{| Т |}{м_{д р у}}

$a(t_1) =\dfrac{|T|}{m_{dry}}$ но мы получаем

а (т_{1}) "=" \frac{| Т |}{м_{0} - т_{1} Δ м} "=" \frac{| Т |}{м_{0} - 60 с Δ м}

$a(t_1) =\dfrac{|T|}{m_{0} - t_1 \Delta m} = \dfrac{|T|}{m_{0} - 60s \Delta m}$

Я не уверен, ошибка это или нет. Затем я вывел уравнение, используя немного другой подход, который я придумал, который показался мне более интуитивным, вместо использования $\Delta m$ , я использовал тариф $r$ (кг/с), при котором топливо выходит из системы.

Δ в "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} \frac{| Т |}{м_{ф} - т р} д т

$\Delta v= \int_{t_0}^{t_1} \dfrac{|T|}{m_f - tr}dt$

Теперь, если я возьму интеграл, мы получим

Δ в "=" - \frac{| Т |}{р} п | \frac{м_{0}}{м_{д р у}} |

$\Delta v =-\dfrac{|T|}{r}\ln\left|\dfrac{m_0}{m_{dry}}\right|$

Мой вывод кажется неправильным, потому что передо мной стоит отрицательный знак, что не имеет смысла. Есть ли что-то, что я пропустил?

Шварц Кугельблиц

Я хотел бы добавить одну вещь к ответу CR drost, что в вики-статье должно быть m_final=m_initial-dm/dt(истекшее время).

Ответы (1)

Вывод уравнения ракеты Циолковского с использованием скорости горения топлива

Я хотел бы добавить одну вещь к ответу CR drost, что в вики-статье должно быть m_final=m_initial-dm/dt(истекшее время).

CR Дрост · Answer 1

Да, в настоящее время это некачественная деривация в Википедии. В частности сборка $m_0 - t \Delta m$ не соответствует размеру, если $t$ имеет любые заданные единицы. Вместо этого можно было бы написать, скажем,

\begin{matrix} (1) & Δ в "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} д т \frac{Т}{м_{0} - (м_{0} - м_{1}) (т - т_{0}) / (т_{1} - т_{0})} . \end{matrix}

$\Delta v = \int_{t_0}^{t_1}\mathrm dt ~\frac{T}{m_0 - (m_0 - m_1)(t - t_0)/(t_1 - t_0)}.\tag{1}$ И тогда это выражение правильно

T / m_{0}

$T/m_0$ в

t = t_{0}

$t = t_0$ и

T / m_{1}

$T/m_1$ вовремя

t = t_{1} .

$t=t_1.$

Вы совершенно нормально здесь, чтобы написать $r = (m_0 - m_1)/(t_1 - t_0)$ для упрощения; тоже похоже, что вы изобрели новую массу $m_f = m_0 + r~t_0$ что позволяет нам записать все это выражение в виде

\begin{matrix} (2) & Δ в "=" \int_{т_{0}}^{т_{1}} д т \frac{Т}{м_{ф} - р т}, \end{matrix}

$\Delta v = \int_{t_0}^{t_1}\mathrm dt ~\frac{T}{m_f - r~t},\tag{2}$ что хорошо. Этот знаменатель действительно все еще

m_{0} + r t_{0} - r t_{0} = m_{0}

$m_0 + r~t_0 - r ~t_0 = m_0$ в

t = t_{0}

$t=t_0$ и еще немного работы,

m_{0} + r t_{0} - r t_{1} = m_{0} - r (t_{1} - t_{0})

$m_0 + r~t_0 - r~t_1 = m_0 - r(t_1 - t_0)$ что упрощает до

m_{1}

$m_1$ в

t = t_{1} .

$t = t_1.$ Отлично, хотя я сомневаюсь в выборе имени

m_{f}

$m_f$ поскольку это может указывать кому-то на «конечную массу» вместо «фиктивной массы в

t = 0

$t=0$ », что это такое.

На самом деле, я думаю, было бы намного проще, если бы мы просто определили $\tau = t_1 - t_0$ и взял $t_0 = 0$ как произвольный нуль, так что вы просто имеете $\int_0^\tau \mathrm dt T/(m_0 - r~t)$ и не нужно продумывать половину этих деталей.

В любом случае правильная оценка (2) включает в себя $u$ -подстановка, где мы определяем, скажем, $\mu = m_f - r~t$ а потом $\mathrm d\mu = -r~\mathrm dt,$ что, вероятно, откуда вы получаете знак минус. Знак минус здесь на 100% правильный; конечные точки таковы $\mu(t_0) = m_0, \mu(t_1) = m_1$ как обсуждалось выше, поэтому мы найдем

\begin{matrix} (3) & Δ в "=" - \frac{1}{р} \int_{м_{0}}^{м_{1}} д мю \frac{Т}{мю} "=" - \frac{Т}{р} п (\frac{м_{1}}{м_{0}}), \end{matrix}

$\Delta v = -\frac{1}{r}\int_{m_0}^{m_1}\mathrm d\mu ~\frac{T}{\mu} = -\frac Tr \ln\left(\frac{m_1}{m_0}\right),\tag{3}$ и знак минус служит здесь важной цели: этот логарифм является логарифмом числа между

0

$0$ и

1

$1$ и поэтому это отрицательное значение; знак минус делает его положительным.

Итак, насколько я могу судить, ваша ошибка заключалась в нахождении этих границ или какого-то другого элементарного шага после этого; у вас было это $m_f - r~t$ был $m_1 = m_\text{dry}$ вовремя $t = t_0$ и $m_0$ вовремя $t = t_1$ когда все ровно наоборот; индекс $0$ отмечает начальный момент и нижний индекс $1$ отмечает конечный момент.

Вывод уравнения ракеты Циолковского с использованием скорости горения топлива

Седрик Мартенс

Шварц Кугельблиц

Ответы (1)

CR Дрост

Вывод ракетного уравнения Циолковского

Откуда берется дополнительная кинетическая энергия ракеты?

Как спутники могут менять направление без какой-либо среды в космосе? [дубликат]

Расход ракетного топлива

Применение третьего закона Ньютона

Может ли ракета вечно двигаться в открытом космосе, даже если она больше не использует топливо? [дубликат]

Является ли ракетный двигатель наиболее эффективным, когда его скорость равна скорости истечения?

Как работает ракетная тяга?

Как ракета тормозит в космосе?

Вертикальный запуск ракеты