Вертикальный запуск ракеты

Question

Вертикальный запуск ракеты

Черн-Саймонс

Из Q7 на стр. 22 «Обновите свою физику» BPhO / Machacek

Ракета начальной массы $M_0$ запускается вертикально в однородном гравитационном поле силы $g$ .

(a) Рассчитайте конечную скорость ракеты, 90 % стартовой массы которой составляет топливо, при постоянной скорости истечения. $u$ . Предположим, что топливо расходуется равномерно в течение одной минуты.

Попытка :

Позволять $\alpha$ обозначают расход топлива в $\mathrm{kg\ s^{-1}}$

Тогда постоянная тяга, обеспечиваемая выхлопом, определяется выражением:

\begin{matrix} (1) & Т "=" α ты \end{matrix}

$T=\alpha u \tag{1}$

Ускорение $a(t)$ ракеты в какое-то время $t$ после запуска:

\begin{matrix} (2) & Т - М (т) г "=" М (т) а (т) \end{matrix}

$T-M(t)g=M(t)a(t) \tag{2}$

где

\begin{matrix} (3) & М (т) "=" М_{0} - α т \end{matrix}

$M(t)=M_0-\alpha t \tag{3}$ это масса ракеты в момент

t

$t$ .

С использованием $v=\int a(t)\,\mathrm dt$ , Я получил

\begin{matrix} (4) & в (т) "=" \int_{0}^{т} (\frac{α ты}{М_{0} - α т} - г) д т "=" ты п (\frac{М_{0}}{М_{0} - α т}) - г т \end{matrix}

$v(t)=\int\limits_0^t\left(\frac{\alpha u}{M_0-\alpha t}-g\right)\,\mathrm dt=u\ln\left(\frac{M_0}{M_0-\alpha t}\right)-gt \tag{4}$ с

v_{0} = 0

$v_0=0$ .

Может $\alpha$ и $t$ как-то устранить или мне нужно больше информации, чтобы ответить на вопрос? Какие-нибудь концептуальные ошибки в моей работе?

Позже вопрос также касается скорости при выключении основного двигателя и наибольшей достигнутой высоты (что, я думаю, можно получить, интегрируя уравнение $(4)$ но тут опять нужно понятие времени?).

Черн-Саймонс

Кросс-пост: math.stackexchange.com/q/3518408

Ответы (2)

Вертикальный запуск ракеты

пользователь 249968 · Answer 1

Как ты говоришь :

М (т) "=" М_{о} - α т

$M(t) = M_o - \alpha t$

Но вы должны знать, что в то время $\tau$ после запуска объект теперь имеет $0.1M_o$ масса (поскольку он поглотил все свое топливо).

Поэтому

\begin{matrix} (1) & 0,1 М_{о} "=" М_{о} - α т \end{matrix}

$0.1M_o = M_o - \alpha \tau \tag 1$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow т "=" \frac{0,9 М_{о}}{α} \end{matrix}

$\Rightarrow \tau = \frac {0.9M_o}{\alpha} \tag 2$

После замены $(1)$ и $(2)$ в ваше уравнение мы получаем:

в (т) "=" ты п (10) - г \frac{0,9 М_{о}}{α}

$v(\tau) = u\ln \left(10 \right)-g\frac {0.9M_o}{\alpha}$

Теперь, если вы знаете $\alpha$ тогда вы можете найти $v(\tau)$ .

Как насчет $\alpha$ ? есть ли способ устранить $\alpha$ ? (Точно так же, как и в горизонтальном случае, это аннулируется, но я не уверен, применимо ли это к вертикальному запуску?)
При вертикальном старте он не компенсируется, так как нужен для борьбы с гравитацией. Каждую секунду двигатель горит, часть его тяги компенсируется гравитацией. Чем больше тяга, тем меньше дробь. Пока вы игнорируете сопротивление воздуха и структурные нагрузки, более короткие горения с большей тягой лучше. Вы можете изменить уравнение так, чтобы V(tau) = deltaV - гравитационные потери.

Агниус Василяускас · Answer 2

Основываясь на очень хорошем ответе @Johan Liebert, вы можете экстраполировать несколько вещей. Во-первых, верхняя граница скорости ракеты - это когда $\alpha \to \infty$ , это дает :

в_{м а Икс} "=" ты п (10)

$v_{max} = u\,\ln(10)$ , потому что тогда второй член стремится к нулю.

Второе - можно рассчитать критический расход топлива, решив для $\alpha$ в :

ты п (10) - г \frac{0,9 М_{о}}{α} "=" 0

$u\,\ln(10) - g \frac{0.9 M_o}{\alpha} = 0$ это дает :

α_{критический} "=" г \frac{0,9 М_{о}}{ты п (10)}

$\alpha_{\text{critical}} = g\frac{0.9\,M_o}{u \ln(10)}$ Если

α < α_{critical}

$\alpha < \alpha_{\text{critical}}$ , то ракета наконец начнет откат к Земле, т.е. сила тяжести в итоге победит.

Вертикальный запуск ракеты

Черн-Саймонс

Черн-Саймонс

Ответы (2)

пользователь 249968

Черн-Саймонс

AI0867

Агниус Василяускас

Как определить внутренние и внешние силы, действующие на систему частиц?

Уравнение ракеты

Стрельба пулей по системе блоков [закрыто]

Решите для начальной скорости снаряда с учетом угла, силы тяжести, а также начального и конечного положения?

Скорость непостоянного движения

Снаряд, сопротивление воздуха и ветер

Угловое, тангенциальное и центростремительное ускорение невращающегося объекта [закрыто]

Несколько (основных) сомнений относительно концепций движения

Интуитивное понимание ракетной проблемы [закрыто]

Соотношение сил [закрыто]