Вывод уравнения Шредингера и уравнение диффузии

Я знаю о дебатах о том, было ли уравнение Шредингера выведено или мотивировано. Тем не менее, я не видел тот, который я описываю ниже. Интересно, может ли это иметь значение. Если не исторически, то в воспитательных целях при введении уравнения.

Предположим, что у нас есть зависящее от времени уравнение Шредингера для свободной частицы, В "=" 0 .

− ℏ я 2 м ∇ 2 Ψ β "=" ∂ Ψ β ∂ т

По мере движения частицы ее тепло распространяется по всему пространству. Теперь учтите, что мы рассматриваем уравнение теплопроводности или вообще уравнение диффузии:

α ∇ 2 ты "=" ∂ ты ∂ т

Где ты это температура.

Также у нас есть уравнение диффузии частиц из-за второго закона Фика.

Д ∂ 2 ф ∂ Икс 2 "=" ∂ ф ∂ т

Где ф является концентрация.

Кроме того, функция плотности вероятности подчиняется уравнению диффузии. Так как свободная частица движется, тепло, температура или плотность рассеиваются.

Теперь мы можем интуитивно мотивировать уравнение Шрёдингера. Математически это описывает ту же диффузию. Я прав? Вы видели больше похожей мотивации в другом месте?

Уравнение Шредингера — это не совсем уравнение диффузии из-за сложного члена.
Однако это уравнение диффузии в комплексном пространстве. Я не знаю какой-либо мотивации SE через распространение, за исключением, возможно, того, что вы хотите так называть формализм Feynmans Propagator.
Связанный: физика.stackexchange.com/q/142169/ 50583
Это так же похоже, как умножение на комплекс и действительную экспоненту ... одно - вращение, другое - сжатие.

Ответы (6)

Я не знаю, доказал или угадал Шредингер уравнение с его именем, но это уравнение можно вывести аналогично уравнению диффузии - см. Гордон Бейм, "Квантовая механика".

Однако , в отличие от уравнения диффузии, коэффициент диффузии в уравнении Шредингера является мнимым . Это говорит нам о том, что мы должны разделить уравнение Шредингера на две части, одна из которых приравнивает действительные части двух сторон, а другая приравнивает мнимые части. Таким образом, значение этого мнимого коэффициента диффузии состоит в том, что волновая функция является комплексной, или, другими словами, имеет абсолютное значение и фазу , подобно электромагнитной волне.

Уравнение Шредингера является волновым уравнением, а не уравнением диффузии. Хотя уравнения выглядят одинаково, я в уравнении Шредингера их дифференцирует; что допускает незатухающие колебательные решения, чего не допускают уравнения диффузии.

Тем не менее, между ними определенно есть отношения.

Уравнение Шредингера аналогично уравнению Фоккера-Планка , которое представляет собой эволюцию классического распределения вероятностей с учетом случайного шума. Это может привести к диффузии.

Существует также стохастическая интерпретация квантовой механики , которая связывает уравнение Шредингера с своего рода квантовым броуновским движением. (Честно говоря, я этого не понимаю, оригинал статьи здесь .) Классическое броуновское движение приводит к диффузии.

Что? В соответствии со стандартным определением «волнового уравнения» оно должно быть второго порядка по времени, чего нет в уравнении Шредингера. Оно может допускать волнообразные решения, но по сути это уравнение диффузии (с поворотом Вика).
Мои искренние извинения! Каким дескриптивистом-дураком я был, когда думал, что волновое уравнение — это просто уравнение с волнами в качестве решений! Какая сумасшедшая мысль! Спасибо случайному интернет-предписателю за то, что он изобрел произвольное определение волнового уравнения и показал мне ошибочность моего пути! Пожалуйста, исправьте все источники, в которых не используется это произвольное определение, то есть практически все! Веди хороший бой!
О чем ты говоришь? Каково ваше определение волны? Можно придумать запутанное определение «волны», при котором уравнение Шредингера является «волновым уравнением», но оно все равно концептуально будет отличаться от волнового уравнения ∂ 2 ψ / ∂ Икс 2 "=" ∂ 2 ψ / ∂ т 2 . Физически принципиально разные уравнения должны называться по-разному, даже если некоторые конкретные решения кажутся вам похожими - это не "произвольно".
Я призываю вас определить, что такое волна! Если какое-либо возбуждение можно описать уравнением вида е я ( к Икс − ю т ) , то это волна! Разговор о запутанном определении! То маленькое уравнение, которое вы написали, всего лишь одно из волновых уравнений. Некоторые волновые уравнения относятся к векторным полям, а не к скалярным. Некоторые из них имеют нелинейные дисперсионные соотношения из-за наличия производных более высокого порядка по x. Почему это принципиально разные уравнения ? Вперед, продолжать; завяжите себя узлами, пытаясь придумать общее определение волны, тогда мы увидим, чье определение «обфусцировано»!
Извините, но ваше определение не имеет смысла - например, линейные комбинации таких решений также являются волнами. Но я не отрицаю, что вы можете дать определение в своем смысле, просто оно очень полезно с концептуальной точки зрения. С концептуальной точки зрения может быть полезно классифицировать «производные более высокого порядка в Икс " случаи как волны, если их понимать как "коррекции" какой-то обычной волны, я не знаю. Вы можете заменить мое определение на ∂ мю ∂ ν Ψ "=" 0 если хочешь.
Но в любом случае это выходит за рамки — я хочу сказать, что утверждение в вашем ответе о том, что «уравнение Шредингера является волновым уравнением», не является полезным, особенно для этого вопроса, который явно спрашивает, является ли формальное соотношение между уравнением диффузии и уравнением Шредингера. Наблюдение, что уравнение Шредингера допускает синусоидальные решения, не является особенно поучительным, равно как и указание на то, что классическое уравнение диффузии этого не делает, не очень показательно.

Я хотел написать комментарий, но моя цитата слишком длинная, чтобы поместиться в качестве комментария.

Кажется, я нашел подходящую цитату Джеймса Глека, который сказал следующее на странице 175 своей книги «Гений».

«Традиционное уравнение диффузии имело фамильное сходство со стандартным уравнением Шредингера; решающее отличие заключалось в единственном показателе степени, где квантово-механическая версия была воображаемым фактором, т.е. Не имея этого i, диффузия была движением без инерции, движением без импульса. молекулы духов несут инерцию, но их совокупность, переносимая по воздуху, сумма бесчисленных случайных столкновений, не имеет. С i квантовая механика могла бы включить инерцию, память частиц о своей прошлой скорости. Воображаемый фактор в показателе степени смешал скорость и время необходимым образом. В некотором смысле квантовая механика была диффузией в мнимом времени».

Я еще не знаком с квантовой механикой, но я прошел курс по уравнениям в частных производных, где мы рассмотрели закон Фике.

Форма уравнений кажется очень похожей - первая производная по времени пропорциональна второй производной по пространству. Это подразумевает решения, которые со временем стабилизируются (т. е. стационарные решения). Тем не менее, сложный член является чем-то вроде дикой карты, потому что он может превратить экспоненциальные множители в периодические с помощью формулы Эйлера. Так что я был бы осторожен в попытке сравнить эти два.

Мы действительно ожидаем, что волновая функция будет однозначной в качестве постулата КМ.

Я думаю, что мы упускаем очень важный момент. В SE время мнимое, тогда как в уравнении диффузии оно действительное. А следствием мнимого времени является то, что оно дает фазовую свободу в волновой функции, приводит к колебательному решению. В то время как в уравнении диффузии реальное время приводит к затуханию решения, как уже упоминалось.

Это хороший момент, но он должен быть комментарием imo.
...что вы подразумеваете под "время воображаемо"?

Уравнение Шрёдингера (УШ) уже в виде уравнения диффузии, но перед производной по времени стоит мнимое число (или коэффициент диффузии мнимый), как уже отмечали здесь другие респонденты. Я думаю, что лучший способ мотивировать SE все еще с помощью более высокой классической механики (например, Гамильтона-Якоби).

Однако аналогия между уравнением диффузии и SE все еще интересна. Итак, давайте рассмотрим аналогию более подробно и посмотрим, в чем заключаются различия, чтобы лучше понять.

Из-за воображаемой единицы я в ЮВ, ψ скорее всего сложный. Чтобы получить действительное число, основатели интерпретируют его модуль в квадрате как плотность вероятности, аналогичную плотности числа или концентрации. Там, где плотность высока, вы, скорее всего, найдете больше частиц (или одну частицу, описываемую уравнением Шредингера). Немного натянуто, но все же ок.

Классическое уравнение диффузии также можно вывести из уравнения неразрывности. Для этого нужен ток в форме закона Фика, который является феноменологическим. Он говорит, что ток пропорционален градиенту плотности или концентрации. Частицы имеют тенденцию течь от более высоких концентраций к более низким.

QM и SE также имеют уравнение непрерывности для плотности вероятности. Но, насколько мне известно, соответствующий ток нельзя вывести из формы закона Фика. Это не градиент плотности. Текущая вероятность является чем-то вроде среднего квантово-механического оператора скорости частицы. Кроме того, хотя это уравнение непрерывности может быть получено из SE, аргумент, насколько мне известно, нельзя обратить вспять. SE не может быть получено из этого уравнения непрерывности. Другой способ взглянуть на это состоит в том, что уравнение непрерывности для плотности возникает из инвариантности лагранжиана уравнения Шрёдингера к изменению фазы в фунтах на квадратный дюйм (калибровочная инвариантность -> первая теорема Нётер -> сохраняющийся ток).

Так что формально главное отличие, помимо мнимого числа в SE, состоит в том, что ток SE/QM не является градиентом плотности чего-либо.

Вывод уравнения Шредингера и уравнение диффузии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v