Вывод закона преобразования для символов Кристоффеля

Я первокурсник, изучаю общую теорию относительности по книге Бернарда Шютца. В одной из задач он просит вывести закон преобразования символов Кристоффеля из определения:

$$\begin{equation} \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} \vec{e}_{\mu} = \frac{\partial \vec{e}_{\alpha}}{\partial x^\beta}.\tag{1} \end{equation}$$ После долгой алгебры и использования законов преобразования для «известных» величин я пришел к следующему: $$\begin{equation} \Gamma^{\mu '}_{\alpha '\beta '} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\gamma}}\frac{\partial^2x^\gamma}{\partial x^{\beta '}\partial x^{\alpha '}}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\alpha '}}\frac{\partial x^p}{\partial x^{\beta '}}\Gamma^{\gamma}_{\sigma p}.\tag{2} \end{equation}$$ Теперь Википедия говорит, что порядок частных производных меняется местами в первом члене. Но выражение, которое я получаю через первые принципы, приведено выше. Однако Шютц упоминает ближе к концу главы, что для некоординатной основы определение символа Кристоффеля меняется, и, следовательно, то, которое использовалось для вывода вышеизложенного, действительно только для координатной основы, в которой частные производные можно поменять местами. Таким образом, исходя из этого предположения, поскольку основой для этого вывода являются координаты, я могу поменять порядок приведенных выше частных производных и получить выражение: $$\begin{equation} \Gamma^{\mu '}_{\alpha '\beta '} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\gamma}}\frac{\partial^2x^\gamma}{\partial x^{\alpha '}\partial x^{\beta '}}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\alpha '}}\frac{\partial x^p}{\partial x^{\beta '}}\Gamma^{\gamma}_{\sigma p}.\tag{3} \end{equation}$$ который есть в стандартных текстах и ​​Википедии. Я правильно рассуждаю так? Прошу прощения, если кажусь наивным, так как впервые изучаю материал.