Взаимозаменяемы ли пространство и время?

В некотором смысле пространство и время взаимозаменяемы, но есть и очень важный смысл, в котором они различны.

В теории относительности (оба вида) мы рассматриваем пространство-время как четырехмерное многообразие с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением — я сейчас объясню разницу. Любой наблюдатель может выбрать набор координат с собой в начале координат, затем он может измерить свои три пространственные оси своей линейкой и измерить свою ось времени своими часами.

Но разные наблюдатели не сойдутся в своих осях. Например, если я двигаюсь относительно вас, то ваша ось времени будет казаться мне смесью моих осей времени и пространства. Таким образом, время и пространство взаимозаменяемы в том смысле, что то, что для вас кажется временем, для меня выглядит смесью времени и пространства. Если вам интересно, я расскажу об этом подробнее в разделе Что такое время, течет ли оно, и если да, то что определяет его направление? . Это смешение измерений времени и пространства лежит в основе таких явлений, как замедление времени и лоренцево сокращение.

Однако, хотя разные наблюдатели не согласятся в том, что составляет пространство и что представляет собой время, они всегда согласятся, что существуют три пространственные оси и одна ось времени. Разница в том, как эти измерения появляются в метическом тензоре.

Предположим, мы возьмем старое доброе евклидово пространство и переместимся на расстояние$dx$вдоль$x$направление,$dy$вдоль$y$направление и$dz$вдоль$z$направление. Общее пройденное расстояние,$ds$, дается теоремой Пифагора:

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$

В специальной теории относительности у нас есть аналогичное общее расстояние, пройденное в четырехмерном пространстве-времени, и оно определяется метрикой:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Но учтите, что срок$dt^2$появляется в уравнении с отрицательным значением. В этом ключевое различие между пространством и временем. Пространственные члены имеют знак, отличный от временного члена. В смысле пространство и время совершенно различны.

Наконец, этот фактор$c$необходим, потому что, когда вы добавляете количества, они должны иметь одни и те же единицы измерения. Таким образом, в уравнение для метрики мы не можем просто добавить$dt^2$и$dx^2$потому что это прибавило бы секунды в квадрате к метрам в квадрате. Умножение на$c$преобразует единицы времени в единицы расстояния.

Чтобы понять, почему$c$это скорость света посмотрите что особенного в скорости света в вакууме? .

В некотором смысле, да, в общей теории относительности.

Как упоминалось в другом ответе, бесконечно малый квадрат расстояния в плоском четырехмерном пространстве-времени (также известном как пространство Минковского ), появляющийся в специальной теории относительности, определяется выражением

$$\begin{equation} ds^2=-c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2. \end{equation}$$

В общей теории относительности все немного сложнее, потому что пространство-время может быть искривлено. В общем, становится

$$\begin{equation} ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu, \end{equation}$$ где $g_{\mu\nu}$называется метрическим тензором , и мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании , в котором подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, т.е. RHS суммируется по $\mu$и $\nu$в диапазоне от 0 до 3 в четырехмерном пространстве-времени. В сферических координатах это выглядит так $$\begin{equation} ds^2=-c^2 dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2). \end{equation}$$

В специальной теории относительности в декартовых координатах$g_{\mu\nu}$это просто диагональная матрица с$g_{00}=-1$,$g_{11}=1$,$g_{22}=1$,$g_{33}=1$а других записей ноль, а в ОТО вариантов много.

В классической общей теории относительности единственным фундаментальным различием между пространством и временем является различие знаков собственных значений метрического тензора.

Теперь, если у нас есть пространство-время с точечной массой, то у нас есть метрика Шварцшильда , определяемая как:

$$\begin{equation} ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2), \end{equation}$$ где $M$это масса.

Расстояние$r_s=2GM/c^2$называется радиусом Шварцшильда. Если масса содержится внутри ее радиуса Шварцшильда, это черная дыра с горизонтом событий (точкой невозврата) на расстоянии$r_s$.

Теперь обратите внимание, что в метрике коэффициенты умножения$dt^2$и$dr^2$переключать знаки, когда$r$становится меньше, чем$r_s$. Это означает, что в каком-то смысле радиальные и временные координаты поменялись местами в качестве пространственных и временных координат!

Это также означает, что$r$неизбежно станет меньше для неудачливого космического путешественника, пересекшего горизонт событий, как, например,$t$неизбежно становится больше для любого человека в плоском пространстве-времени. Центр черной дыры перестает быть чем-то «там», как только вы пересекаете горизонт, он буквально становится вашим будущим.