Является ли ∂µ+ieAµ∂µ+ieAµ∂_\mu + ie A_\mu «ковариантной производной» в смысле дифференциальной геометрии?

Это то же самое. Математики назвали бы настройку калибровочной теории расслоением.$A_\mu$играет роль связи на пучке волокон. Конечно, из трех индексов символы Кристоффеля$\Gamma^i{}_{jk}$имеют, в волокне «живут» два индекса. Вам будет легче понять это, если вы посмотрите на неабелевы калибровочные теории, в которых$(A_\mu)_{ij}=A_\mu^a T_{ij}^a$.

ДОПОЛНЕНИЕ :

1. С чего бы это заботиться? Если вас интересует только вычисление поправки NNNLO в каком-либо процессе КТП, и вы торопитесь, вы можете отложить изучение этих вещей. В противном случае, ИМХО, вам очень полезно взглянуть на геометрическое описание, которое дает универсальное описание гравитации, электромагнетизма, слабых и сильных взаимодействий.
2. Является ли эта интерпретация новой? Нисколько. Напомним, что старая идея Калуцы-Кляйна уже установила эту связь. U (1) электромагнетизма был «выведен» из симметрии компактного$\mathbf{S}^1$. Конечно, в этом случае компактное пространство является 1-мерным, поэтому труднее понять, что$A$имеет два индекса в этом пространстве.
3. Для чего это нужно? В тот самый момент, когда вы хотите понять, почему, скажем, инстантонное число является целым числом, это ИМХО самый простой способ. Все сводится к некоторым довольно простым утверждениям топологии.
4. Где можно прочитать больше? Есть много источников, одним из них является учебник Накахара по "Геометрии, топологии и физике", и если вы не хотите покупать книгу, вы можете посмотреть, например, эти заметки .

Я расширю существующий ответ, более подробно объяснив несколько моментов здесь ; Я буду ссылаться на номера разделов там, где это уместно, и вы простите меня за то, что я переключился на их обозначения.

Калибровочная ковариантная производная теории Янга-Миллса$D_\mu$построен так, что$\psi\to U\psi$с$U$в группе Ли накладывает$D_\mu\psi\to UD_\mu\psi$, и мы можем доказать$[D_\mu,\,D_\nu]=igF_{\mu\nu}$(1.2.2). Аналогичная трактовка гравитации использует общие преобразования координат (ОКО) в качестве калибровочных преобразований (1.3.1), поэтому ОКО$T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$навязывает$\nabla_\lambda T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \nabla_\lambda \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$. В то время как символы Кристоффеля играют роль$A_\mu$, тензор Римана аналогичен$F_{\mu\nu}$с$[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]A_\rho=R_{\mu\nu\rho\sigma}A^\sigma$.

Мы можем «вывести» общую теорию относительности из калибровочных принципов точно так же, как электромагнетизм (1.1); то, что гравитация притягивает, исключает гравитон со спином 1, а то, что она линзирует фотоны, исключает гравитон со спином 0, поэтому вместо этого у нас должен быть гравитон со спином 2. Это непохожесть на калибровочные бозоны Стандартной модели предполагает, что гравитация является «квадратной» калибровочной теорией, идея, формализованная в KLT-соотношениях (9.1), которые исторически возникли в теории струн, но могут быть получены просто из обычной обработки амплитуд диаграмм Фейнмана. .

Кроме того, однако, эффективная теория поля может быть получена (8), несмотря на неперенормируемость 4-мерной квантовой гравитации. Рассмотрение следа гравитона как скалярного поля фиксирует параметры EFT (8.4.1), что приводит к квантовым поправкам к ньютоновскому потенциалу (8.5) и метрике Рейсснера – Нордстрема (8.6).