Интеграл в разных системах координат

Ваша интуиция верна, и вы сможете использовать эту формулу в любой системе координат. В самом деле, вы предположительно делали задачи со скалярным потенциалом, где у вас есть аналогичная формула, которую вы можете вычислить в любой системе координат. Однако вы должны быть более осторожны при определении того, что вы подразумеваете под этим интегралом в векторном случае в общих системах координат, и я думаю, что Гриффитс хочет не увязнуть в этих тонкостях, поэтому он выдает предупреждение, которое, возможно, слишком сильно сформулировано.

Но давайте все же заглянем вперед. Начиная с уравнения, которое вы написали

$$\begin{equation} \mathbf{A}(\mathbf{r})=\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$

Это не очень полезно в его нынешнем виде, потому что включает интеграл от вектора. На практике вы всегда в конечном итоге вычисляете интегралы скаляров. Итак, первый шаг — преобразовать этот векторный интеграл в три скалярных интеграла.

Например, один из скалярных интегралов равен

$$\begin{equation} A_x = \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_x=\hat{\mathbf{e}}_x\cdot\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' = \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_x}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau'= \int \frac{J_x(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$

Ключевым шагом является последний, который выглядит очень невинно, но на самом деле довольно хитрый. Дело в том, что единичный вектор$\mathbf{\hat{e}}_x$является константой, поэтому, несмотря на то, что мы начали с ее оценки в координате наблюдателя$\mathbf{r}$, мы можем «переместить» единичный вектор в исходную координату$\mathbf{r}'$, и, таким образом, мы можем легко выполнить скалярное произведение между единичным вектором и текущим. Это шаг, который усложняется, если вы пытаетесь делать что-то в других системах координат.

В качестве примера, где все становится сложно, давайте попробуем оценить вещи в сферических координатах, поэтому мы хотим вычислить$A_r,A_\theta,A_\phi$.

Итак, попробуйте вычислить$A_r$. Нам нужно$\hat{\mathbf{e}}_r$так что мы можем расставить точки$\mathbf{A}$. Однако,$\hat{\mathbf{e}}_r$не является константой. Его величина всегда равна 1, но его направление зависит от того, где вы находитесь в пространстве (явно,$\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{R})=\frac{\mathbf{R}}{|\mathbf{R}|}$). Мы хотим оценить$A_r$по координате наблюдателя$\mathbf{r}$, так что аналогичным образом мы хотим оценить$\hat{\mathbf{e}}_r$в точку$\mathbf{r}$.

Имея это в виду, мы проходим шаги, которые мы делали в декартовом пространстве.

$$\begin{equation} A_r = \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})=\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})\cdot\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' = \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$

Но сейчас

$$\begin{equation} \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_r}(\mathbf{r})\neq J_r(\mathbf{r'}) \end{equation}$$

Вместо этого вы должны написать

$$\begin{equation} \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) = J_r(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) + J_\theta(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_\theta(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})+ J_\phi(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_\phi(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) \end{equation}$$

Надеюсь, вы видите, что это станет настоящей болью!

Вы можете, конечно, оценить скалярные произведения явно, используя геометрию (например,$\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}')=\cos\theta$если$\phi=\phi'$), и у вас останется сумма трех интегралов (обратите внимание, что теперь вам нужно выполнить три интеграла, чтобы вычислить$A_r$, один из трех компонентов$\mathbf{A}$!). Есть несколько трюков, которые вы можете попробовать использовать; например, вы можете выбрать свои исходные координаты так, чтобы интегралы, которые вам нужно сделать, были как можно более точными, и у вас также есть некоторая свобода калибровки, которую вы можете попытаться использовать, чтобы упростить вещи.

Однако я бы никогда не предложил делать что-либо из вышеперечисленного на практике (если только вы не находитесь в ситуации с большой симметрией, когда вы можете свести все скалярные произведения к чему-то очень простому). Я просто пытаюсь быть явным, чтобы проиллюстрировать, что происходит. На уровне Гриффитса лучше всего, как правило, вычислять декартовы компоненты векторного потенциала.$A_x,A_y,A_z$. Если вам когда-нибудь понадобится радиальный компонент$A_r$, вы можете построить его из$A_x,A_y,A_z$обычным способом.

Наконец, я просто хочу отметить, что, хотя проще всего вычислить декартовы компоненты $A_x,A_y,A_z$, фактическое интегрирование компонентов может быть выполнено в любой системе координат. Другими словами, при оценке

$$\begin{equation} A_x = \ \int \frac{J_x(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}$$ где $J_x=\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{e}_x}$, вы можете использовать любые координаты для $\mathbf{r}'$Вы любите вычислять интеграл. Все тонкости связаны с базисными векторами. После того, как вы выбрали подходящий базисный вектор и сформировали скалярный интеграл, вы можете использовать любую систему координат, какую захотите, для вычисления интеграла без каких-либо скрытых тонкостей относительно нормального скалярного потенциала (т.е. электростатический) корпус.

---

(Это было в исходном ответе, я переместил его сюда, чтобы не нарушать поток вышеизложенного).

Если вы действительно хотите знать, как вычислить$\mathbf{A}(\mathbf{r})$(или$\mathbf{E}$и$\mathbf{B}$) в сферических координатах, не проходя декартовых координат, «правильный» способ сделать это - с точки зрения векторных сферических гармоник. Вам потребуется достаточное количество дополнительных сложных (но интересных!) Механизмов, поэтому их объяснение выходит за рамки этого ответа, но если вам интересно, см. Джексон, 3-е издание, разделы 5.6 и 9.7 или разделы о векторе. мультипольное разложение и неоднородное уравнение Гельмгольца в конспектах лекций Фитцпатрика http://farside.ph.utexas.edu/teaching/jk1/Electromagnetism/Electromagnetism.html или в статье в википедии http://en.wikipedia.org/wiki /Vector_spherical_harmonics .

Интеграл следует из использования функции Грина для векторного лапласиана; что функция Грина не зависит от системы координат. Интеграл можно вывести в любой системе координат.

Проблема здесь скорее практическая: вектор$A(r)$может быть выражено через базис векторных полей — в частности, значения этих базисных полей в точке$r$. Большая проблема связана с$r'$части интеграла: большинство подходов к вычислению интегралов, которые приводят к векторам в качестве окончательного ответа, используют фиксированный (например, декартовый) базис, так что интеграл разбивается на скалярные интегралы, умноженные на фиксированные базисные векторы.

У меня нет этой книги под рукой, поэтому я не знаю, как она там выведена. Но я предполагаю, что интегральная формула исходит из подхода функций Грина к решению уравнения Пуассона. Однако, насколько мне известно, метод функции Грина работает для нормального уравнения Пуассона, т. е. неизвестная функция является скаляром, а не вектором A , как здесь. Чтобы получить интегральное уравнение, мы могли бы думать о 1-м уравнении как о трех уравнениях Пуассона для декартовых компонент и снова собрать решения трех уравнений Пуассона в вектор. Однако для этой цели другие координаты, кроме декартовых, не работают.

Что касается того, есть ли аналогичная интегральная формула, подходящая для всех систем координат... Жду ответов других людей.