Ковариантная производная для спинорных полей

Question

Ковариантная производная для спинорных полей

Физика
спиноры
ковариация
дифференциация
дифференциальная геометрия

люршер

производные скаляров (спин-0) выражается как:

\nabla_{я} ф знак равно \frac{\partial ф}{\partial {Икс}_{я}} .

$\nabla_{i} \phi = \frac{\partial \phi}{ \partial x_{i}}.$

производные вектора (спин-1) выражаются как:

\nabla_{я} В^{к} знак равно \frac{\partial В^{к}}{\partial {Икс}_{я}} + Г_{м я}^{к} В^{м} .

$\nabla_{i} V^{k} = \frac{\partial V^{k}}{ \partial x_{i}} + \Gamma^k_{m i} V^m.$

Мой вопрос: каково выражение для ковариантных производных спинорных (спин-1/2) величин?

Ответы (4)

Ковариантная производная для спинорных полей

Лоуренс Б. Кроуэлл · Answer 1

Есть интересный способ взглянуть на связи Кристоффеля со спинорными полями. Обычный оператор Дирака записывается как $\gamma^\mu\partial_\mu$ . Интересно изменить это на $\partial_\mu(\gamma^\mu\psi)$ . Затем это становится

\partial_{мю} (γ^{мю} ψ) знак равно γ^{мю} \partial_{мю} + (\partial_{мю} γ^{мю}) ψ .

$\partial_\mu(\gamma^\mu\psi)~=~ \gamma^\mu\partial_\mu~+~(\partial_\mu\gamma^\mu)\psi.$ Антикоммутатор

{γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μ ν}

$\{\gamma^\mu,~\gamma^\nu\}~=~2g^{\mu\nu}$ а ковариантное постоянство метрики дает

\partial_{μ} γ^{μ} = Γ_{μ σ}^{μ} γ^{σ}

$\partial_\mu\gamma^\mu~=~\Gamma^\mu_{\mu\sigma}\gamma^\sigma$ . Таким образом, мы можем записать оператор Дирака в этой другой форме как

{дельта}_{ν}^{мю} \partial_{мю} (γ^{ν} ψ) знак равно {дельта}_{ν}^{мю} γ^{ν} \partial_{мю} ψ + {дельта}_{ν}^{мю} Г_{мю о}^{ν} γ^{о} ψ .

$\delta_\nu^\mu\partial_\mu(\gamma^\nu\psi)~=~ \delta^\mu_\nu \gamma^\nu\partial_\mu\psi~+~\delta^\mu_\nu \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\gamma^\sigma\psi.$ Теперь, если вы отделите дельту Кронекера, вы получите ковариантную производную спинорного поля.

Это означает, что в общем случае алгебра Клиффорда $CL(3,1)$ представление матриц Дирака является локальным. Тогда коэффициент связи можно рассматривать как результат функций перехода между этими представлениями, поэтому дифференциал дает коэффициенты связи.

Я не думал об этом таким образом. +1

пользователь346 · Answer 2

Для ковариантной спинорной производной нам нужно ввести соединение, которое может параллельно переносить спинор. Такая связь принимает значения в алгебре Ли группы, при которой спинор преобразуется. Тогда у нас есть:

Д_{я} ψ знак равно \partial_{я} ψ + грамм А_{я}^{я} Т_{я} ψ

$D_i \psi = \partial_i \psi + g A_i^I T_I \psi$

Здесь $T_I$ являются образующими алгебры Ли и имеют матричные значения. У нас подавлены спинориальные индексы. Выписывая их явно, получаем:

Д_{я} ψ_{а} знак равно \partial_{я} ψ_{а} + грамм А_{я я} Т^{я}_{а}^{б} ψ_{б}

$D_i \psi_a = \partial_i \psi_a + g A_{i\,I} T^I{}_a{}^b \psi_b$

Например, для $SU(2)$ генераторы алгебры Ли задаются тремя матрицами Паули $\sigma_x,\sigma_y, \sigma_z$ которые затем действуют на двухкомпонентные спиноры. Если вы хотите работать с четырехкомпонентными спинорами $\psi_A$ , преобразуясь по группе Лоренца, соответствующие образующие — это генераторы $SO(3,1)$ . Вы можете найти их у Пескина и Шредера, стр. 41.

Существуют отношения между спиновой связью, связью Кристоффеля и метрикой, но это определение спиновой связи.

для четырехкомпонентных спиноров, я думаю, мы используем линейную комбинацию генераторов Лоренца, которые выглядят как $SU(2) \bigoplus SU(2)$ , я не помню сейчас, где я это прочитал
@lurscher - да, вы можете учитывать $so(3,1)$ на две копии $su(2)$ (мы говорим об алгебрах Ли, а не о группах, заметьте). Это снова дано в гл. 3 Пескин. Я изначально ненавидел эту книгу. Но он на тебе растет, как пиво или икра :)
@lurscher: ты прав (как и @Deepak). И позвольте мне воспользоваться этой возможностью, чтобы сделать это утверждение кристально ясным для вас, показав диаграммы Дынкина этих алгебр. $\mathfrak{so}(1,3)$ является $D_2$ а также $\mathfrak{su}(2)$ является $A_1$ . Как видите, две точки в два раза больше, чем одна точка. КЭД :)

КГР · Answer 3

Прежде чем вы сможете ввести спинорные расслоения в искривленном пространстве-времени, нам нужно сначала ввести вирбейны. Это определяет локальный ортонормированный репер. При желании можно ввести принципиальную связку кадров с $Spin(d,1)$ как калибровочная группа. Спиноры могут быть определены относительно этого репера. Суть в том, что спиноры являются репрезентациями $Spin(d,1)$ , двойная обложка $SO(d,1)$ , но не общей линейной группы $GL(d+1,\mathbf{R})$ . Аффинная связность — это связность над последней группой, но, предполагая метричность, мы можем отобразить ее в спиновую связность над первым основным расслоением.

Владимир Калитвянский · Answer 4

Хочу обратить ваше внимание, что такой способ введения «взаимодействия» годится только для описания внешних полей (которые могут включаться и выключаться физически). Этот способ связи с надлежащим полем (которое нельзя отключить) не годится и требует разрешения ИК- и УФ-расхождений, если он будет реализован. После перенормировок и суммирования ИК-диаграмм истинная связь с собственным полем отличается от «ковариантной производной».

Ковариантная производная для спинорных полей

люршер

Ответы (4)

Лоуренс Б. Кроуэлл

пользователь346

пользователь346

люршер

пользователь346

Марек

Крейг

КГР

Владимир Калитвянский

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Перестановочные ковариантные производные спиноров

Как вычислить ковариантную производную ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha базисного вектора по другому базисному вектору?

Нужны ли нам действительно нужны тетрады? ИЛИ: Применяется ли теорема No-Go для спиноров в искривленном пространстве только к линейной связи?

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Ковариантная производная спинора Дирака и лифта Космана

Является ли ∂µ+ieAµ∂µ+ieAµ∂_\mu + ie A_\mu «ковариантной производной» в смысле дифференциальной геометрии?

Как определяется оператор Даламбера в дифференциальной геометрии?

Что значит дифференцировать спинорнозначное поле?

Можно ли поднять индексы ковариантных производных и их произведений?