Являются ли диффеоморфизмы собственной подгруппой конформных преобразований?

Общий диффеоморфизм не является частью конформной группы. Скорее конформная группа является подгруппой группы диффеоморфизмов. Чтобы диффеоморфизм был конформным, метрика должна измениться как,

$$g_{\mu\nu}\to \Omega^2(x)g_{\mu\nu}$$

и только тогда его можно считать конформным преобразованием. Кроме того, все конформные группы являются группами Ли, т. е. с элементами, сколь угодно близкими к единице, за счет применения инфинитезимальных преобразований.

---

Пример: конформная группа римановой сферы.

Конформная группа сферы Римана, также известная как комплексное проективное пространство,$\mathbb{C}P^1$, называется группой Мёбиуса. Общее преобразование записывается как

$$f(z)= \frac{az+b}{cz+d}$$

для$a,b,c,d \in \mathbb{C}$удовлетворяющий$ad-bc\neq 0$.

---

Пример: Квартира$\mathbb{R}^{p,q}$Космос

Для плоского евклидова пространства метрика определяется выражением

$$ds^2 = dz d\bar{z}$$

где мы лечим$z,\bar{z}$как независимые переменные, но условие$\bar{z}=z^{\star}$означает, что мы действительно находимся на реальном срезе сложной плоскости. Конформное преобразование принимает вид

$$z\to f(z)\quad \bar{z}\to\bar{f}(\bar{z})$$

что представляет собой просто преобразование координат, и метрика изменяется на,

$$dzd\bar{z}\to\left( \frac{df}{dz}\right)^{\star}\left( \frac{df}{dz}\right)dzd\bar{z}$$

как требуется для обеспечения его конформности. Мы можем указать бесконечное число$f(z)$, а значит, и бесконечное число конформных преобразований. Однако для общего$\mathbb{R}^{p,q}$, это не так, и конформная группа$SO(p+1,q+1)$, для$p+q > 2$.

Я знаю, что этой теме уже 6 лет, но, только что наткнувшись на нее, я чувствую необходимость прояснить некоторую путаницу вокруг нее, начиная с вопроса, проходя через принятый ответ и последующие комментарии. Большая часть этой путаницы возникает из-за двух разных, но похожих понятий: конформной трансформации и конформной изометрии.

Позвольте мне пояснить (я следую книге Вальда по общей теории относительности, приложение D о конформных преобразованиях): в контексте общей теории относительности (на которую ссылается ОП) конформное преобразование параметра$\Omega:M\to \mathbb{R}$($\Omega(p)>0\forall p$) (другие авторы называют преобразованием Вейля ) пространства-времени$(M,g)$дает другое пространство-время$(M,g^\prime)$где метрика$g^\prime$относится к$g$к

$$g^\prime=\Omega^2 g$$ а теории, предсказания которых инвариантны относительно этой операции, называются конформно-инвариантными или обладают симметрией Вейля . Согласно этому определению, конформное преобразование не имеет ничего общего с группой диффеоморфизмов$\phi:M\to M$, на самом деле какой бы атлас (читай набор систем координат) мы использовали для охвата$M$, это не меняется конформным преобразованием (напомним, что многообразие$M$по существу определяется как топологическое пространство с покрывающим его атласом, в то время как метрика пространства-времени является дополнительной структурой, наложенной на многообразие: изменение метрики посредством конформного преобразования ничего не делает с многообразием).

Итак, если ОП имеет в виду конформное преобразование/преобразование Вейля, ответ на его вопрос таков: группа конформных преобразований метрики и группа диффеоморфизмов — это две разные группы, и ни одна из них не является подгруппой другой.

В частности, обратите внимание, что данный тензор$T$преобразуются при конформном преобразовании метрики только через ее функциональную зависимость от метрики: если$T=t(g)$в пространстве-времени$(M,g)$, то в пространстве-времени$(M,g^\prime)$у нас есть

$$T^\prime = t(g^\prime) = t(\Omega^2 g)$$ и фактическое отношение между$T$и$T^\prime$зависит от реальной функциональной формы$t(g)$, а не на тензорной структуре$T$(как это было бы в случае, если бы конформное преобразование было частным диффеоморфизмом).

Иначе обстоит дело с конформными изометриями : конформная изометрия — это действительно особый вид диффеоморфизма, для которого обратный образ метрики в точке$p$дан кем-то

$$\phi_\star g_{\phi(p)} = \Omega^2(p) g_p$$ Будучи конформной изометрией диффеоморфизмов, он преобразует все тензоры в соответствии с их тензорной структурой. Что касается вопроса OP, группа конформных изометрий является подгруппой группы диффеоморфизмов M.

Что касается последнего пункта в вопросе ОП: общая теория относительности действительно не «инвариантна относительно конформных преобразований», но на самом деле она даже не «инвариантна относительно диффеоморфизмов» и не является «инвариантной относительно любых изометрий». Скорее, его уравнения носят тензорный характер (они имеют вид$T=0$для некоторого тензора$T$), поэтому их справедливость сохраняется при действии всех диффеоморфизмов, включая все изометрии и все конформные изометрии:

$$\phi_\star T=0 \iff T=0$$ Теперь, согласно принципу общей ковариантности, и если пренебречь фермионами, метрика$g$— единственная геометрическая величина, которая может входить в уравнения общей теории относительности, но это не означает, что каждое из этих уравнений инвариантно относительно изометрий: это неверно даже для уравнения поля Эйнштейна $$G=8\pi T$$ потому что тензор Эйнштейна$G$и тензор энергии напряжения$T$являются тензорами ранга (0,2).

Последний момент, который я хочу затронуть, — это путаница, возникшая в комментариях относительно отношения между диффеоморфизмами и изменениями координат. Во-первых, диффеоморфизмы$\phi:M\to M$карты точек$M$в другие точки г.$M$(активная точка зрения) и определяется как гомеоморфизм, сохраняющий гладкую структуру$M$. Таким образом, он отправляет карты и атласы$M$к другим картам и атласам$M$гладким и обратимым образом (если$\varphi : U\subset M \to \mathbb{R}^k$это диаграмма,$\phi|_U \circ \varphi$в другом и т. д.), тем самым вызывая смену координат (пассивный вид). С другой стороны, плавное изменение координат — это как раз то, что отправляет атласное покрытие.$M$к другому гладким и обратимым образом, тем самым индуцируя гладкое и обратимое отображение между точками$M$. Так что на самом деле диффеоморфизмы и замены координат находятся в однозначном соответствии, при условии, что изменения координат «не забывают покрыть некоторые точки$M$», то есть они сопоставляют атласы с атласами, а не просто карты с картами. Если данное изменение координат вместо этого «забывает некоторые точки», это изменение координат вызовет только локальный диффеоморфизм.