Существует ли общепринятый аксиоматический подход к общей теории относительности?

Общая теория относительности может быть построена из следующих принципов:

1. Принцип эквивалентности

2. Исчезающее предположение о кручении ($\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$)

3. Уравнение Пуассона (или любое другое эквивалентное уравнение ньютоновской механики)

Пояснения:

1. Принцип эквивалентности можно использовать, чтобы показать, что пространство-время является локально Минковским, т. е. законы специальной теории относительности выполняются в бесконечно малой области вокруг свободно падающего наблюдателя. Это эквивалентно математической идее о том, что многообразие размерности$n$локально гомеоморфна$\mathbb{R}^n$. Это позволяет делать две вещи (о которых я могу думать на данный момент). Мы заключаем, что пространство-время является многообразием. Мы также можем сделать замены$\eta\rightarrow g$и$\partial\rightarrow\nabla$, что дает правильные (есть исключения) уравнения ОТО.

2. Это необходимо для того, чтобы геодезическое уравнение можно было получить из вариационного принципа, поскольку оно подразумевает, что символы Кристоффеля симметричны. Это условие ослаблено в некоторых теориях, таких как теория Эйнштейна-Картана или теория струн.

3. Проще говоря, нам нужно это уравнение, чтобы зафиксировать константы в уравнении Эйнштейна.

Все методы лечения GR используют принцип эквивалентности. Лечение Вайнберга особенно. Причина этого связана с его профессией физика. Вайнберг был (и остается) одним из величайших физиков элементарных частиц. Его мечтой было написать последовательную квантовую теорию поля для гравитации. По его мнению,$g_{\mu\nu}$называться метрическим тензором - это «устаревший» термин, оставшийся с тех пор, когда Эйнштейн изучал дифференциальную геометрию из старых работ своего друга Гроссмана и Римана и компании.$^1$. По мнению Вайнберга,$g_{\mu\nu}$это всего лишь поле гравитонов, и любая связь с геометрией носит чисто формальный характер.$^2$. В таких текстах, как Кэрролл, Штрауманн или Вальд, они используют EP, чтобы установить связь.

$^1$См. первый абзац раздела 6.9.

$^2$См., например, стр. 77, где он называет геодезическое уравнение простой формальной аналогией геометрии.

Я думаю, что можно вступить в спор относительно понятия «принято», но идея состоит в том, что Общая теория относительности успешно описывается псевдоримановым многообразием, подчиненным уравнениям Эйнштейна, со свободно падающими объектами, следующими геодезическим. Теперь вы ищете набор аксиом, который дает вам эту структуру. Один такой набор, хотя и не совсем строгий, можно найти в статье Элерса, Пирани и Шильда под названием «Геометрия свободного падения и распространения света ». Я дам вам краткое обсуждение содержания.

Начните с двух принципов: (1) принципа эквивалентности Эйнштейна и (2) конечности скорости света. Первый говорит, что объекты в свободном падении в гравитационном поле находятся в инерционном движении, а второй говорит, что не только свет распространяется с конечной скоростью, но ничто не движется быстрее его.

Другими словами, принцип (1) диктует, что траектория свободного падения является такой же «прямой» линией с точки зрения наблюдателя, как траектория с постоянной скоростью в ньютоновской физике. Принцип (2) устанавливает, что, поскольку все движется с конечной скоростью, между событиями существует причинно-следственная связь, а именно, если два события имеют пространственное расстояние, большее, чем скорость света, умноженная на расстояние во времени, они не могут иметь причинно-следственной связи. Конечно, подразумевается в относительности одновременности и другие вещи из специальной теории относительности.

В более конкретном смысле принцип (1) дает вам набор «прямых линий», то есть набор геодезических, а принцип (2) дает вам набор причинно-следственных связей между событиями. В статье Элерса, Пирани и Шильда они называют эти две структуры (1) проективной структурой и (2) конформной структурой. Затем они показывают, что эти два, с предположениями, что они совместимы и часы ведут себя разумным образом. подразумевают существование единственной лоренцевой метрики и тензора Римана вместе с интерпретацией геодезических и световых конусов. Остается только потребовать, чтобы отклонение геодезических было совместимо с отклонением из ньютоновской теории, чтобы получить уравнения Эйнштейна.

Они предоставляют набор аксиом, которые касаются каждой части предположений, но все это можно проследить до этих двух принципов: эквивалентности Эйнштейна и конечной скорости распространения света.

В качестве примечания вы можете отметить, что эта идея сильно отличается от того, что излагает Вайнберг, а именно, что геометрия не является фундаментальной в этом описании, но, как он сам говорит на стр. 147, это неортодоксальная точка зрения, не разделяемая всеми релятивисты. С другой стороны, насколько мне известно, это господствующая точка зрения в теории струн.