С какой целью подчеркивается, что действие инвариантно относительно диффеоморфизма?

После прочтения книги «Дифференциальная геометрия и группы Ли для физиков» Мариана Фецко в разделе 16.4.1 я полагаю, что я близок к пониманию того, что физики подразумевают под инвариантностью действия относительно диффеоморфизма. Далее я поясню рассуждения Мариана Фецко об инвариантности действия к диффеоморфизму.

Рассмотрим классическую теорию поля$\phi$на римановом многообразии$(M,g)$, где$g_{ab}$является его метрикой. Назовем действие естественным по отношению к диффеоморфизму в следующем смысле.

Определим такую ​​дифференциальную форму$\Omega[\phi,g]$определяется через действие

$$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{D}L(\phi,\nabla\phi,g)\omega_{g}$$ где $D\subset M$является подмногообразием и $\omega_{g}$это объемная форма на $D$связанный с метрикой $g$.

Предположим тогда, что изменение полей и изменение пространственно-временных координат обращается в нуль на границе$\partial D$. В математической терминологии этому требованию соответствует поток$\Psi_{t}:M\rightarrow M$это произвольно внутри$D$но исчезает на$\partial D$.

Мы говорим, что действие инвариантно (или естественно) относительно диффеоморфизма$\Psi_{t}$если откат удовлетворяет

$$\Psi_{t}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Omega[\Psi_{t}^{\ast}(\phi),\Psi_{t}^{\ast}(g)].$$

При таком требовании, поскольку поток не перемещает точки на границе, при любом бесконечно малом изменении$\Psi_{\epsilon}$порождается векторным полем$V$в$M$, у нас есть$\Psi_{\epsilon}(D)=D$. Следует, что

$$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Omega[\phi,g]=\int_{D}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])$$ $$=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])$$ $$=\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon),$$ где $\mathcal{L}_{V}$— производная Ли вдоль потока, и мы использовали интегрирование подстановкой в ​​​​первой строке. Поскольку классические поля должны быть на оболочке, $\phi$доводит до крайности действие $S[\phi,g]$. Тогда у нас есть $$\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g].$$ и так $$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon).$$ Следовательно, по определению тензора энергии-импульса имеем $$S[\phi,g]=S[\phi,g]-\epsilon\int_{D}\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}+o(\epsilon),$$ и так $$\int_{D}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}=0,$$ для произвольной вариации $\delta g$, мы заключаем, что энергия-импульс сохраняется, т.е. $\nabla_{a}T^{ab}=0$.

Таким образом, инвариантность действия к диффеоморфизму является решающим условием сохранения тензора энергии-импульса системы.

Я надеюсь, что это может помочь понять тех, кто когда-то также был сбит с толку этим. Добро пожаловать, чтобы прояснить любые ошибки и любые недоразумения, которые у меня есть.

Возможно, уместно привести простой пример: действие нерелятивистской свободной частицы

$$S[x]~=~\int \! dt ~L, \qquad L ~=~ \frac{m}{2}\dot{x}^2,$$

не является формоинвариантным относительно временной репараметризации

$$t\quad\longrightarrow \quad t^{\prime} ~=~f(t).$$

Напротив, современная фундаментальная физика (такая как, например, теория струн) считается геометрической, и ожидается, что формулировка действия будет инвариантной к репараметризации и диффеоморфизму.

В некотором смысле вы совершенно правы: интегралы инвариантны относительно замены переменных. Но в физике есть важный момент, на который не часто обращают внимание: любая функция, которую вы интегрируете, задается формулой, которая должна работать во всех системах координат.

Другими словами, чтобы правильно выполнить замену переменных, вам нужно включить якобиан. Но с физической точки зрения включить якобиан — значит узнать, в какой системе координат вы находитесь; иначе откуда вы знаете, что вам следует включить якобиан? Итак, в наших интегралах мы хотим, чтобы якобиан был равен единице; в общем многообразии это делается путем подстановки множителя$\sqrt{-g}$.

Позволь мне привести пример. Предположим, что у нас есть интеграл$\int_0^1\int_0^1\ dx\ dy$, и допустим, что его результат имеет физический смысл. Сделаем замену координат$x = x'^2$: согласно теореме о замене переменных наш интеграл теперь записывается как$\int_0^1\int_0^1 2x'\ dx'\ dy$. Несмотря на то, что результат тот же, интеграл не является инвариантным, потому что мне нужно знать, какие координаты я использую, чтобы знать, следует ли включать$2x'$. Предполагается, что исходная формула работает одинаково во всех системах координат.

Сама функция также должна быть инвариантной, и это еще одно место, где физики и математики используют одно и то же слово для разных вещей. Для нас скаляр — это не просто число; он должен быть одинаковым во всех системах координат. Вы можете пожаловаться, что такое число, как$4$одинакова во всех системах координат, но опять же: в физике наши функции определяются формулами, и одна и та же формула должна работать для всех, независимо от их координат. Например, если у вас есть двумерный коллектор с координатами$(x,y)$и у вас есть функция$f(x,y)=x$, то эта функция не скаляр! Вычисление его в разных координатах даст разные результаты.