Являются ли истины евклидовой планиметрии случайными истинами?

Необходимая истина – это та, которая следует из логики. Случайная истина следует из случайности.

Рассмотрим теорему T евклидовой геометрии. У него нет истинностных значений о реальном мире; потому что мы не указали интерпретацию. Теоремы — это синтаксические сущности; но истина семантическая. Лучшее, что мы можем сказать о теореме, это то, что она доказуема или не доказуема из аксиом.

Поэтому, когда мы утверждаем Т, мы на самом деле делаем утверждение «Т есть теорема Е», где Е представляет аксиомы евклидовой геометрии. «Е доказывает Т» — истинное утверждение; и более того, это необходимая истина, потому что она прямо следует из логики. На самом деле вы могли бы написать компьютерную программу, которая могла бы проверить правильность вывода от E до T. Проверка теоремы — это алгоритмическая процедура. [ Нахождение теорем , особенно нахождение интересных теорем, требует участия человека.]

Заметьте, что мы ничего не можем сказать об истинности Т. Т — формальное утверждение, оно не имеет смысла. Если мы интерпретируем T относительно современной физики, это может быть ложным. Если мы интерпретируем T в ньютоновской вселенной, это может быть правдой. Истина всегда связана с интерпретацией.

Теперь рассмотрим утверждение: «Я левша». В этом мире это правда. Но как насчет других возможных миров? Я мог бы родиться правшой, и моя жизнь была бы почти такой же. «Сократ — философ» верно в этом мире; но в каком-то другом мире Сократ был торговцем рыбой.

Теперь вы можете сказать: что вы имеете в виду под «возможным миром»? Я признаю, что это очень глубокая тема с обширной литературой по философии; и что я не в курсе всего этого. Я знаю, что это туманное понятие. Возможен ли мир, в котором 2 + 2 = 5? Мы склонны так думать, потому что 2 + 2 = 4 — необходимая истина. Но почему?

Я могу представить мир, в котором я правша. Но я не могу представить себе мир, в котором 2+2=5. Итак, моя рукоять — случайная истина; а 2+2=5 — необходимая истина.

Резюме: Каждая теорема T евклидовой геометрии сама по себе не является ни истинной, ни ложной . Если вы дадите мне интерпретацию, я скажу вам, правда это или ложь.

Но утверждение «Е доказывает Т», где Е — собрание евклидовых аксиом, на самом деле является необходимой истиной; потому что это доказуемо логикой.

«Евклид написал «Элементы» — это случайная истина. В каком-то другом возможном мире Евклид пас коз, а кто-то другой написал первую современную книгу по математике.

Рассмотрим две точки на поверхности, описываемой z = 1/x * 1/y. Есть ли на этой поверхности линия, которая их соединяет?

Представьте себе два самолета, летящих в одном направлении на расстоянии 500 миль друг от друга. Если они оба летят прямо, будут ли траектории их полета параллельны?

Если у меня есть капля воды, и я добавляю в нее каплю воды, сколько капель воды у меня остается?

Наша «естественная интуитивная интерпретация» математических понятий сильно зависит от контекста. Если вы говорите о яблоках, то 1+1=2, но если вы говорите о каплях воды, 1+1=2 не имеет никакого смысла. Если вы говорите о плоских поверхностях, евклидова геометрия естественным образом следует за ней, но не все поверхности плоские — и я не просто имею в виду, что мы живем в трех измерениях, а не в двух. Само трехмерное пространство может быть искривлено!

Евклидова геометрия, как и ньютоновская физика, кажется нам интуитивно понятной и естественной, потому что она проста и дает хорошее представление о том, как на самом деле ведет себя мир большую часть времени. Однако такое поведение не является необходимым фактом. Во вселенной, где физика работала совсем по-другому, я сомневаюсь, что жители сочли бы такие вещи столь же очевидными, как мы.

Закон, утверждающий 1+1=2, по существу является законом тождества, то есть это то ; вот почему это обязательно верно. Чтобы указать контекст для этого, нужно быть более конкретным в отношении того, что мы идентифицируем и как .

В онтологии Либница это закон неразличимого, о котором он впервые написал в « Рассуждении о метафизике» ; обычно это понимается как:

никакие два [отличающихся] объекта не могут иметь одинаковые свойства

Это кажется в высшей степени разумным: если два объекта различимы, то они должны различаться по одному или нескольким свойствам. Тогда мы можем сказать:

объект однозначно определяется своими свойствами

Тогда возникает вопрос, универсален ли этот закон? Существуют ли концептуальные схемы, в которых его можно ослабить?

На первый взгляд, 1+1 не равно 2; они выглядят иначе; однако контекст предоставляет доказательство того, что первое может быть преобразовано во второе и обратно; вот почему я говорю по существу , а не точно в своем первом предложении. На определенном языке можно было бы сказать, что они гомотопны (чтобы быть точным - мы переходим в область теории гомотопических типов из теории типов)

Следовательно, закон Лейбница, хотя по существу истинный, не совсем верен; и это можно сделать более формальным. В теории множеств, выбирая ZF для точности, закон Лейбница переводится в аксиому экстенсиональности :

Множество однозначно определяется своими элементами.

Соответствие между этим и моей переформулировкой закона Либница очевидно.

Можно пойти и по другому пути, и это выросло из понятия изоморфизма в алгебре; то есть два объекта могут быть по существу неразличимы для всех целей, но они могут быть разными; это понятие находит правильный контекст в теории категорий ; и на самом деле, в идеале теория высших категорий.

По сути, вся математика (как она понимается в настоящее время) может быть геометризирована: геометрия и алгебра двойственны. Например, целые числа, архетипическая алгебра геометризируется (Гротендиком) через его понятие схем — и на этом языке можно говорить о покрытиях, расслоениях и кривизне.

Учитывая это понимание, неудивительно, что существуют неевклидовы геометрии; просто они были обнаружены первыми.

Следовательно, истины евклидовой геометрии обязательно истинны, поскольку эта геометрия определена в пространстве всех геометрий; но если подумать о модальности необходимости в семантике возможного мира Крипке или Льюиса, где истина обязательно истинна, когда она истинна в каждом мире, — тогда следует сказать, что они истинны контингентно.

Я бы также сказал, что эта двойственность (двойственность геометрии и алгебры) естественна для нас, поскольку мы видим (следовательно, геометрия) и осязаем (следовательно, считаем). В этом смысле физическая непосредственность мира, то, как он предстает перед нами, то есть феноменологически , определяет эти две категории математического понимания, столь тесно связанные друг с другом; в этом направлении мысли является философской ошибкой удалять и мир, и сознание, чтобы понять число и геометрию. В этом смысле геометрия зависит от этого мира и от структуры сознания. В этом нет ничего удивительного, так как этот взгляд вырос из кантианской философии, где он является важной отправной точкой.

Я думаю, что в других ответах есть немного больше, чем должно быть, на мой вкус. Это простой ответ для человека, немного разбирающегося в математике. Пятый постулат не стоит в трехмерном искривленном пространстве, как наш мир (см., например, углы на сферах). Карл Фридрих Гаусс однажды заявил в письме, что он сомневается в пятом постулате, а не в остальных 4 аксиомах. Впоследствии Янош Бойяи создал новую геометрию, в которой не выполнялся пятый постулат (называемую гиперболической геометрией).

В качестве окончательного ответа, если я правильно понял вопрос, аксиомы не являются случайными истинами, поскольку на основе евклидовой геометрии могла быть создана другая геометрия.