Можно ли существенно геометризировать логику?

Декарта хвалили за то, что он соединил геометрию и алгебру, и его достижения позволили Лейбницу и Ньютону изобрести исчисление и позволили его эффективному и бурному развитию последующими математиками и физиками в отличие от рудиментарных и примитивных шагов, предпринятых Архимедом в области интеграции и Кераланская школа в силовой серии.

Теперь можно алгебраизировать различную пропозициональную логику:

классическая логика высказываний -> булевы алгебры

интуиционистская логика высказываний -> алгебра Гейтинга

модальная логика -> модальная алгебра

Вопрос: существует ли значимая геометрическая форма этих логик? Важно просто потому, что это не просто перевод в геометрическую форму, как в диаграммах Венна для булевых алгебр (сначала представленных как некоторая система множеств), но это позволяет сказать что-то более глубокое о самой логике?

Считаете ли вы теорию топоса геометрической? А как насчет того, что открытые множества пространства являются гейтингами?
да я бы. Это то, что вдохновило на этот вопрос. Я действительно ищу альтернативные геометрические характеристики или внутри самих топосов геометрически значимый способ говорить о логике.
Интересный вопрос. Вы также можете задать этот вопрос в math.se (если да, поделитесь ссылкой). Жду ответов и здесь и там.
@Rostomyan: Я задал вопрос на math.se по вашему предложению.

Ответы (1)

Вопрос: существует ли значимая геометрическая форма этих логик?

Здесь «эти логики» относятся к булевым алгебрам, алгебрам Гейтинга и модальной алгебре. Различные теоремы о представлении этих алгебр как алгебр множеств, связанных с некоторыми топологическими пространствами, по-видимому, дают положительный ответ на этот вопрос. Эти теоремы о представлении нетривиальны, поскольку они эквивалентны булевой теореме о простом идеале , которая не может быть выведена из аксиом теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора.

Хорошо известно, что всякая булева алгебра может быть представлена ​​как алгебра множеств замкнуто-открытых множеств ассоциированного с ней пространства Стоуна.

Существует несколько тесно связанных теорем о представлении алгебр Гейтинга. Сначала отметим, что алгебра Гейтинга ограничена и дистрибутивна как решетка, и каждая ограниченная дистрибутивная решетка может быть представлена ​​как алгебра множеств замкнуто-открытых верхних множеств ассоциированного с ней пространства Пристли. В случае алгебры Гейтинга это ассоциированное пространство Пристли является пространством Эсакаи , которое является пространством Пристли, для которого замыкание вниз каждого замкнуто-открытого множества является открыто-замкнутым. Существуют также теоремы о представлении для ограниченных дистрибутивных решеток и алгебр Гейтинга, использующие попарные пространства Стоуна вместо пространств Пристли, и теоремы о представлении, использующие спектральные пространства.

В статье в Википедии о модальных алгебрах говорится

Теорему Стоуна о представлении можно обобщить на двойственность Йонссона-Тарского , что гарантирует, что каждая модальная алгебра может быть представлена ​​​​как алгебра допустимых множеств в модальном общем репере.

Я не пытался понять это подробно, но некоторые авторы википедии, по-видимому, считают, что это геометрическое представление:

Общая семантика фреймов сочетает в себе основные достоинства семантики Крипке и алгебраической семантики: она разделяет прозрачную геометрическую проницательность первой и надежную полноту второй.

Я хотел добавить к моему предыдущему комментарию, что особенно жду ответа от Томаса Климпеля, но не хотел ставить вас в тупик. Спасибо.
+1 за хороший ответ. Хотя я немного расплывчато говорю о фреймах - я знаю два вида фреймов: фрейм Крипке, который представляет собой набор с отношением доступности и действует как модель модальной логики, и фрейм как противоположность локали (который является «бессмысленное» обобщение топологического пространства). Я раньше не связывал их вместе, вы подразумеваете, что они на самом деле связаны?
@MoziburUllah Вы правы, здесь я перепутал кадры Крипке с кадрами из бессмысленной топологии. Двойственность Йонссона-Тарского относится к шкалам Крипке с дополнительной структурой и вообще не имеет ничего общего с бессмысленной топологией. Так что, вероятно, есть хорошая теорема о представлении, связанная с топологическими пространствами и для модельной алгебры.
@Klimpel: Я думал, что это могло быть так, но я не решался сказать, поскольку двойственность Йонссона-Тарского предполагает по аналогии с двойственностью Стоуна, что может существовать способ интерпретации фреймов Крипке (с дополнительной структурой) в некотором обобщенном топологическом способе.
Можно ли существенно геометризировать логику?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v