Есть ли необходимость изучать неквантифицированную модальную логику, если вы очень хорошо знаете квантифицированную логику ПК? Кажется, существует очевидная связь между Возможностью и Квантором существования, а также Необходимостью и Квантором Вселенной. Да, в учебниках по модальной логике есть алфавитный суп из различных аксиоматических систем K, S4, S5 и т. д.... но, в конце концов, можно ли все это свести к количественному PC с правильным выбором аксиом, добавленных к вашему язык.
Было бы неплохо иметь минимальную теорию без ненужного жаргона вроде «возможных миров», например. ... если, конечно, вы просто не хотите, чтобы эти термины были в порядке, ... но было бы неплохо сказать, что эти теории в некотором смысле «изоморфны».
Есть ли действительно какая-то разница между ними?
Один из возможных ответов заключается в том, что модальная логика также охватывает вещи за пределами возможности и необходимости (P&N), например, «временная модальная логика» или «доказуемость» или даже такие вещи, как «обязательство» и т. д. Таким образом, вопрос состоит из двух частей: (1) существуют ли ограничения для количественной логики ПК (даже с добавлением аксиом), такие, что она не может получить системы модальной логики P&N, которые мы хотим, и отдельно (2a) существует ли ДЕЙСТВИТЕЛЬНО разница между модальными логиками P&N? и модальные логики не-P&N (т. е. можем ли мы в любом случае рассматривать их как модальную логику P&N)? и (2b) даже если они разные (т.е. ответ на 2а «да»), есть ли способ свести (по крайней мере, некоторые из них) к ПК (перефразировка вопроса (1) для других систем)
Philosophy.stackexchange, похоже, не поддерживает mathjax, поэтому этот ответ немного запутан; если кто-нибудь знает, как правильно отображать математические обозначения, не стесняйтесь редактировать.
Ты спрашиваешь:
Есть ли необходимость изучать неквантифицированную модальную логику, если вы очень хорошо знаете квантифицированную логику ПК?
Это предполагает, что вы рассматриваете роль логики как позволяющую вам выражать больше вещей , так что более выразительная логика лучше. Однако это не всегда верно: во многих случаях нас действительно интересуют более слабые логики, обладающие лучшими свойствами (например, разрешимостью) как с математической, так и с философской точек зрения. Пропозициональная модальная логика на самом деле является фрагментом предикатной (= первопорядковой) логики; этот фрагмент довольно мал и ведет себя намного лучше, чем полная логика предикатов, и играет важную роль в общем изучении хороших фрагментов логики предикатов.
Мне сказали (хотя я этого не читал), что здесь рекомендуется рекомендовать модальные языки и ограниченные фрагменты логики предикатов .
Как мы можем рассматривать пропозициональную модальную логику как фрагмент логики предикатов? Что ж, у вас была правильная основная идея - возможность ("Poss") и необходимость ("Nec") должны соответствовать "существует" и "для всех" соответственно; позвольте мне сообщить подробности.
Существует естественный способ преобразовать фрейм Крипке с оценкой (W, R, V) в пропозициональном языке {p_i: i в I} в структуру M в смысле логики предикатов: язык имеет унарные предикаты U_i для каждого p_i , бинарное отношение S, соответствующее R, а элементы структуры — это в точности миры в фрейме.
В этом духе существует естественный способ преобразовать предложение phi в пропозициональной модальной логике в формулу phi'(x) в логике предикатов, которая интуитивно обладает свойством, которое phi имеет место в мире w из (W, R, V) тогда и только тогда, когда M удовлетворяет phi'(w). Детали немного утомительны, но я приведу пример, который должен прояснить ситуацию: если фи — это предложение
«Возможность (p_0 подразумевает Nec (p_1 подразумевает p_2))»,
тогда phi'(x) есть формула
«Существует некоторый y такой, что xRy и (если U_0(y), то для каждого z(если yRz, то U_1(z) подразумевает U_2(z)))».
Теперь этот перевод точен в следующем смысле: если каждый мир фрейма с оценкой (W, R, V) удовлетворяет условию phi, то ассоциированная структура M удовлетворяет условию «для всех x, phi'(x)». Есть и другие смыслы, в которых этот перевод точен; пропозициональная модальная логика может быть во всех смыслах точно встроена в логику предикатов.
(Я сосредоточился на модальной логике, ориентированной на фреймы, но это действительно расширяется.)
Обратное крайне неверно!
Прежде всего, обратите внимание, что большинство структур в логике предикатов не происходят из фреймов с оценкой — например, в каком смысле вы можете думать о поле как о происходящем из фрейма с оценкой?
Даже если мы ограничим внимание структурами, происходящими из фреймов со значениями в вышеуказанном смысле, пропозициональная модальная логика все еще очень слаба: например, как бы вы попытались выразить предложение логики предикатов?
«Существует ровно один мир w такой, что для каждого мира u либо u видит w, либо w видит u».
в контексте пропозициональной модальной логики?
Все это говорит о том, что по сравнению с логикой предикатов пропозициональная модальная логика чрезвычайно слаба. Однако во многих смыслах это можно рассматривать как положительное: с философской точки зрения мы можем сомневаться в «определенности» предикатных предложений вообще (происходя из сомнения в осмысленности итерационной квантификации всей области), в то время как гораздо больше доверяем предложениям. выражается в особенно красивом его фрагменте; с математической точки зрения модальная логика и ее варианты обладают рядом замечательных свойств (например, разрешимостью), которых нет у полной логики предикатов, что делает ее интересной как с чистой, так и с прикладной точек зрения.
Позвольте мне противопоставить две разные основополагающие цели (или направления, поскольку не ожидается конечного завершения) для формальной логики:
Выразить как можно более широкий набор предложений. В этом смысле, конечно, пропозициональная модальная логика ничего не может предложить по сравнению с логикой предикатов. (РЕДАКТИРОВАТЬ: на самом деле это не совсем так; если мы спросим, какие виды фреймов подтверждают правильность данных пропозициональных модальных предложений, все становится очень интересным: в точном смысле мы можем получить полную логику второго порядка из вопросов проверки - см. этот мой ответ для получения дополнительной информации / цитат.)
Изучить математические обязательства/затраты, связанные с формализацией классов предложений. Например, если мы хотим выразить все утверждения, включающие квантификацию первого порядка, мы должны мириться с неразрешимостью; и наоборот, логика предикатов имеет несколько хороших свойств, таких как компактность , которых нет в других более выразительных логиках. Звездной теоремой в этом отношении является теорема Линдстрема , которая грубо утверждает, что нет логики, строго более выразительной, чем логика предикатов, которая обладает как компактностью, так и свойствами Ловенгейма-Скулема . (Если вам интересны подобные вещи, вам следует взглянуть на сборник Теоретико-модельная логика .)
На мой взгляд, ни один из них не важнее другого (и, конечно, есть много, много других); где пропозициональная модальная логика действительно сияет, так это в отношении второй цели.
Итак, стоит ли вам изучать пропозициональную модальную логику? Это зависит от того, что вы хотите, чтобы логика сделала для вас ?
пользователь9166
пользователь9166
Конифолд