Явный вывод фейнмановской амплитуды e+e−→µ+µ−e+e−→µ+µ−e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-

Question

Явный вывод фейнмановской амплитуды e+e−→µ+µ−e+e−→µ+µ−e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-

Чарли

Я пытаюсь вычислить амплитуду Фейнмана процесса

е^{+} (п_{1}, с_{1}) е^{-} (п_{2}, с_{2}) \to {мю}^{+} (д_{1}, р_{1}) {мю}^{-} (д_{2}, р_{2}),

$e^+(p_1,s_1)e^-(p_2,s_2)\rightarrow \mu^+(q_1,r_1)\mu^-(q_2,r_2),$

рассматривая как лагранжиан взаимодействия

л_{я} "=" - λ_{е} ф (Икс) \bar{ψ} (Икс) ψ (Икс) - λ_{мю} ф (Икс) \bar{х} (Икс) х (Икс),

$\mathcal{L}_I=-\lambda_e\phi(x)\bar{\psi}(x)\psi(x)-\lambda_\mu\phi(x)\bar{\chi}(x)\chi(x),$ где

ψ

$\psi$ поле скалярной частицы

H

$H$ ,

ψ

$\psi$ из

e

$e$ и

χ

$\chi$ из

μ

$\mu$ .

Используя теорему Вика, я получаю, что вклад в амплитуду перехода равен

С "=" - 2 \frac{λ_{е} λ_{мю}}{2} \int г^{4} {Икс}_{1} г^{4} {Икс}_{2} [ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2})] \bar{х} ({Икс}_{1}) х ({Икс}_{1}) \bar{ψ} ({Икс}_{2}) ψ ({Икс}_{2}),

$S=-2\frac{\lambda_e\lambda_\mu}{2}\int d^4x_1 d^4 x_2[\phi(x_1)\phi(x_2)]\bar{\chi}(x_1)\chi(x_1) \bar{\psi}(x_2)\psi(x_2),$

где договорной срок $[\phi(x_1)\phi(x_2)]=i\Delta_F(x_1-x_2)$ .

Затем

С "=" - 2 \frac{λ_{е} λ_{мю}}{2} \int г^{4} {Икс}_{1} г^{4} {Икс}_{2} ⟨ Ф | {\bar{х}}^{-} ({Икс}_{1}) х^{-} ({Икс}_{1}) | 0 ⟩ ⟨ 0 | {\bar{ψ}}^{+} ({Икс}_{2}) ψ^{+} ({Икс}_{2}) | я ⟩ я Δ_{Ф} ({Икс}_{1} - {Икс}_{2}) .

$S=-2\frac{\lambda_e\lambda_\mu}{2}\int d^4x_1 d^4 x_2\langle F|\bar{\chi}^-(x_1)\chi^-(x_1)|0\rangle\langle 0 |\bar{\psi}^+(x_2)\psi^+(x_2)| I \rangle i\Delta_F(x_1-x_2).$

Письмо $S=(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-q_1-q_2)i\eta$ , Я понимаю

я η "=" - λ_{е} λ_{мю} {\bar{ты}}^{' р_{2}} (д_{2}) в^{' р_{1}} (д_{1}) {\bar{в}}^{с_{1}} (п_{1}) {ты}^{с_{2}} (п_{2}) \frac{я}{(п_{1} + п_{2})^{2} - м^{2} + я ε} .

$i\eta=-\lambda_e\lambda_\mu \bar{u}'^{r_2}(q_2)v'^{r_1}(q_1)\bar{v}^{s_1}(p_1)u^{s_2}(p_2)\frac{i}{(p_1+p_2)^2-m^2+i\varepsilon}.$

Теперь я хотел бы сделать квадрат амплитуды в 16 возможных конфигурациях спиральности в центре масс ( $\vec{p}_1=-\vec{p}_2$ и $\vec{q}_1=-\vec{q}_2$ ), но если я попытаюсь вычислить произведение $u$ и $v$ спиноры (даже до того, как сделать квадрат), я понимаю, что все они равны нулю.

Я должен сделать (и я сделал) расчеты с использованием спиноров:

{ты}^{\pm} (п) "=" (\begin{matrix} \sqrt{Е \mp | \vec{п} |} ξ_{п}^{\pm} \\ \sqrt{Е \pm | \vec{п} |} ξ_{п}^{\pm} \end{matrix})

$u^\pm(p)=\left( \begin{matrix} \sqrt{E\mp |\vec{p}|} \xi^\pm_p \\ \sqrt{E\pm |\vec{p}|} \xi^\pm_p \end{matrix}\right)$

в^{\pm} (п) "=" \pm (\begin{matrix} \sqrt{Е \pm | \vec{п} |} ξ_{п}^{\mp} \\ - \sqrt{Е \mp | \vec{п} |} ξ_{п}^{\mp} \end{matrix}),

$v^\pm(p)=\pm\left( \begin{matrix} \sqrt{E\pm |\vec{p}|} \xi^\mp_p \\ -\sqrt{E\mp |\vec{p}|} \xi^\mp_p \end{matrix}\right),$

где

ξ_{п}^{+} "=" (\begin{matrix} с о с \frac{θ}{2} \\ е^{я ф} с я н \frac{θ}{2} \end{matrix})

$\xi^+_p=\left( \begin{matrix} cos\frac{\theta}{2} \\ e^{i\phi}sin\frac{\theta}{2} \end{matrix}\right)$ и

ξ_{п}^{-} "=" (\begin{matrix} - е^{- я ф} с я н \frac{θ}{2} \\ с о с \frac{θ}{2} \end{matrix}) .

$\xi^{-}_p=\left( \begin{matrix} -e^{-i\phi}sin\frac{\theta}{2}\\ cos\frac{\theta}{2} \end{matrix}\right).$

Я читал у Пескина Шредера, что

{ты}^{р †} (\vec{п}) в^{с} (- \vec{п}) "=" 0

$u^{r \dagger}(\vec{p}) v^s (-\vec{p})=0$

поэтому может показаться, что все амплитуды этой формы равны нулю в центре масс... Что я упускаю?

Дану

Это звучит как вопрос «проверь мою работу», который считается не по теме на этом сайте.

Чарли

Теперь звучит лучше?

Ответы (1)

Явный вывод фейнмановской амплитуды e+e−→µ+µ−e+e−→µ+µ−e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-

Это звучит как вопрос «проверь мою работу», который считается не по теме на этом сайте.

Эдвард Хьюз · Answer 1

Ваша ошибка прячется у всех на виду! В вашей амплитуде у вас есть вклады формы

{\bar{в}}^{с_{1}} (п) {ты}^{с_{2}} (- п)

$\bar v ^{s_1} (\mathbf{p}) u ^ {s_2}(-\mathbf{p})$

Но затем вы пытаетесь использовать формулу для $v^\dagger$ скорее, чем $\bar{v}$ ! Помните, что $\bar v$ отличается от $v^\dagger$ (решающим) фактором $\gamma^0$ . Это приводит к тому, что

{\bar{в}}^{с_{1}} (п) {ты}^{с_{2}} (- п) \neq 0

$\bar v ^{s_1} (\mathbf{p}) u ^ {s_2}(-\mathbf{p}) \neq 0$

На самом деле исчезающая комбинация, включающая перечеркнутые, а не крестовые переменные,

{\bar{в}}^{с_{1}} (п) {ты}^{с_{2}} (п) "=" 0

$\bar v ^{s_1} (\mathbf{p}) u ^ {s_2}(\mathbf{p}) = 0$

как показано на странице 104 этих превосходных заметок .

Да, извините, дело с $\dagger$ было просто предположением. Но тогда (я еще раз проверю) нет никакой причины, по которой амплитуда должна быть равна нулю, верно?
Хорошо, я понял проблему, переосмыслив спиноры с кинжалами / перемычками благодаря вашему ответу: возможно, я сделал расчеты без $\gamma_0$ ... так что используйте daggered вместо barred
Да - точно: амплитуда не должна быть нулевой.
Тогда я получаю, что из всех 16 конфигураций спиральности только 4 не исчезают: что кажется правильным, учитывая, что скаляр имеет спин 0. Но правильно ли, что амплитуды зависят не от углов рассеяния, а только от модуля два импульса?
Вы уверены, что ваш $|\mathbf{p}|$ в ваших определениях $u$ и $v$ верно? В общем случае это неправильно - см., например, уравнение (4.115) здесь . Конечно, вопрос может просто захотеть, чтобы вы рассмотрели особый случай. Если вы посмотрите на общий сценарий и вычислите неполяризованное поперечное сечение, я ожидаю некоторой угловой зависимости, поскольку вы получите условия, похожие на $p\cdot q$ . См., например , этот аналогичный пример QED.
Да, для интересующего меня случая я уверен в определениях. Я думал, что отсутствие зависимости от угла может быть связано с тем, что мы имеем дело со скалярной частицей (а не со спином 1).

Явный вывод фейнмановской амплитуды e+e−→µ+µ−e+e−→µ+µ−e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-

Чарли

Дану

Чарли

Ответы (1)

Эдвард Хьюз

Чарли

Чарли

Эдвард Хьюз

Чарли

Эдвард Хьюз

Чарли

Как напрямую вычислить бесконечно малый генератор SU (2)

Диаграммы Фейнмана для взаимодействия Юкавы

Как рассчитать диаграмму Фейнмана собственной энергии?

Ω0c→Σ+K−K−π+Ωc0→Σ+K−K−π+\Omega^0_c \to \Sigma^+ K^-K^- \pi^+ Диаграмма Фейнмана

Упрощение выражения квантовой электродинамики

Диаграммы Фейнмана для квадратичного члена взаимодействия

В чем разница между энергией и температурой в теории поля?

Фактор симметрии и константа связи в скалярной теории поля

Как столкновения элементарных частиц производят различные фундаментальные частицы?

Терминологическая путаница - "частица"