Упрощение выражения квантовой электродинамики

Question

Упрощение выражения квантовой электродинамики

Йохани

У меня есть квантово-электродинамическое упражнение по однопетлевой коррекции собственной энергии электрона, в котором мне нужно показать, что

\begin{matrix} (1) & я е^{2} Σ (п) "=" \frac{{(- я е)}^{2}}{{(2 π)}^{4}} \int г^{4} д Д_{λ о} (д) γ^{λ} С_{Ф} (п - д) γ^{о} \end{matrix}

$\tag{1} ie^{2}\Sigma(p)=\frac{\left(-ie\right)^{2}}{\left(2\pi\right)^{4}}\int d^{4}qD_{\lambda\sigma}\left(q\right)\gamma^{\lambda}S_{F}\left(p-q\right)\gamma^{\sigma}$

где

\begin{matrix} (2) & Д_{λ о} (д) "=" \frac{- я η_{λ о}}{д^{2} - я ϵ} С_{Ф} (п) "=" \frac{я (γ^{α} п_{α} - м)}{п^{2} + м^{2} - я ϵ} \end{matrix}

$\tag{2} D_{\lambda\sigma}\left(q\right)=\frac{-i\eta_{\lambda\sigma}}{q^2-i\epsilon} \qquad\qquad S_{F}\left(p\right)=\frac{i\left(\gamma^{\alpha}p_{\alpha}-m\right)}{p^{2}+m^{2}-i\epsilon}$

можно записать как

\begin{matrix} (3) & я е^{2} Σ (п) "=" \frac{е^{2}}{{(2 π)}^{4}} \int г^{4} д \frac{1}{д^{2} - я ϵ} \frac{2 (γ^{α} {(п - д)}_{α} - 2 м)}{{(п - д)}^{2} + м^{2} - я ϵ} \end{matrix}

$\tag{3} ie^{2}\Sigma(p)=\frac{e^{2}}{\left(2\pi\right)^{4}}\int d^{4}q\frac{1}{q^2-i\epsilon}\frac{2\left(\gamma^{\alpha}\left(p-q\right)_{\alpha}-2m\right)}{\left(p-q\right)^{2}+m^{2}-i\epsilon}$

Я могу приблизиться, чтобы показать это, используя $\gamma_{\sigma}\gamma^{\sigma}=4$ и $\gamma_{\mu}\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu}=-2\gamma^{\sigma}$ , но я еще не смог сделать это полностью. Итак, первое, что я хотел бы знать, это если $D_{\lambda\sigma}\left(q\right)$ и $S_{F}\left(p\right)$ хорошо определены с помощью этих формул, потому что формулы, которые я изучал, отличаются,

Д_{λ о} (д) "=" \frac{- я η_{λ о}}{д^{2} + я ϵ} С_{Ф} (п) "=" \frac{я (γ^{α} п_{α} + м)}{п^{2} - м^{2} + я ϵ}

$D_{\lambda\sigma}\left(q\right)=\frac{-i\eta_{\lambda\sigma}}{q^2+i\epsilon} \qquad\qquad S_{F}\left(p\right)=\frac{i\left(\gamma^{\alpha}p_{\alpha}+m\right)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon}$

поэтому я хочу знать, эквивалентны ли обе формы. Если первые верны, то я не могу показать, чего требует упражнение. Не могли бы вы посоветовать?

секавара

На первый взгляд кажется, что ваши два выражения для

S_{F} (p)

$S_F(p)$ используют разные подписи, поэтому, возможно, вы сравниваете две ссылки с разными соглашениями. Это первое, что можно проверить. ±iϵ связано с вашим выбором сдвига полюсов, что связано с вашими путями интеграции. Опять же, я думаю, вы можете найти два соглашения для этого в литературе.

Йохани

@secavara Я не уверен в этом. Но можете ли вы показать второе выражение из первого?

Кнчжоу

Это просто разные условности. Если вы выполняете упражнения из учебника, вы должны использовать соглашения, которые использует книга, а не какие-то другие.

флиппифанус

Также может быть задействовано вращение фитиля, потому что я заметил, что знак

m^{2}

$m^2$ в знаменателе тоже разные.

секавара

Я думаю, что первый набор выражений использует

(-, +, +, +)

$(-,+,+,+)$ подпись, как в книге Средненицкого. Будьте осторожны, потому что это также влияет на знаки в соотношениях для сокращений гамма-матриц. См. уравнение 59.20 в Srednicki. Кроме того, дважды проверьте наличие опечаток везде.

Йохани

Хорошо, мой вопрос можно упростить: можете ли вы показать, что требует упражнение с информацией, предоставленной в упражнении? Я не могу.

КАФ

В вашем последнем интегральном уравнении, вы уверены, что члены не

- q^{2} - i ϵ

$-q^2- i\epsilon$ и

- (p - q)^{2} + m^{2} - i ϵ

$-(p-q)^2+m^2-i \epsilon$ ?

Йохани

@CAF Я уверен, что мне их так не дали; Я не уверен, что в книге нет опечатки...

СлучайныйПреобразование Фурье

@johani Какая книга? Какая страница? Какое упражнение?

Йохани

@AccidentalFourierTransform Извините, книга является частной. Мой вопрос самодостаточен.

СлучайныйПреобразование Фурье

@johani Нет, вопрос не самодостаточен, потому что проблема, скорее всего, связана с опечаткой. В этой частной книге есть опечатки?

Йохани

@AccidentalFourierTransform Привет! Это не так. Я также думаю, что это опечатка, но мне нужно было подтверждение, тогда достаточно показать правильное выражение, доказав, что (3) неверно, что, возможно, я уже сделал, как сказал в вопросе. Может быть, тогда вы сможете взглянуть на вторую часть вопроса.

InertialObserver

Чтобы немного навести порядок, вы можете взять

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ в фотонном пропагаторе

Ответы (2)

Упрощение выражения квантовой электродинамики

На первый взгляд кажется, что ваши два выражения для $S_F(p)$ используют разные подписи, поэтому, возможно, вы сравниваете две ссылки с разными соглашениями. Это первое, что можно проверить. ±iϵ связано с вашим выбором сдвига полюсов, что связано с вашими путями интеграции. Опять же, я думаю, вы можете найти два соглашения для этого в литературе.
@secavara Я не уверен в этом. Но можете ли вы показать второе выражение из первого?
Это просто разные условности. Если вы выполняете упражнения из учебника, вы должны использовать соглашения, которые использует книга, а не какие-то другие.
Также может быть задействовано вращение фитиля, потому что я заметил, что знак $m^2$ в знаменателе тоже разные.
Я думаю, что первый набор выражений использует $(-,+,+,+)$ подпись, как в книге Средненицкого. Будьте осторожны, потому что это также влияет на знаки в соотношениях для сокращений гамма-матриц. См. уравнение 59.20 в Srednicki. Кроме того, дважды проверьте наличие опечаток везде.
Хорошо, мой вопрос можно упростить: можете ли вы показать, что требует упражнение с информацией, предоставленной в упражнении? Я не могу.
В вашем последнем интегральном уравнении, вы уверены, что члены не $-q^2- i\epsilon$ и $-(p-q)^2+m^2-i \epsilon$ ?
@CAF Я уверен, что мне их так не дали; Я не уверен, что в книге нет опечатки...
@johani Какая книга? Какая страница? Какое упражнение?
@AccidentalFourierTransform Извините, книга является частной. Мой вопрос самодостаточен.
@johani Нет, вопрос не самодостаточен, потому что проблема, скорее всего, связана с опечаткой. В этой частной книге есть опечатки?
@AccidentalFourierTransform Привет! Это не так. Я также думаю, что это опечатка, но мне нужно было подтверждение, тогда достаточно показать правильное выражение, доказав, что (3) неверно, что, возможно, я уже сделал, как сказал в вопросе. Может быть, тогда вы сможете взглянуть на вторую часть вопроса.
Чтобы немного навести порядок, вы можете взять $\epsilon\to 0$ в фотонном пропагаторе

КАФ · Answer 1

В сигнатуре «в основном плюс» вы найдете модификацию пропагаторов, как показано в OP, с соответствующим изменением знака на правую часть алгебры Клиффорда (содержит метрический тензор). Все это кратко изложено, например, в ссылке Srednicki. Я обращусь ко второй части ОП, теперь v2.

Позволять $V^{(1)}$ — вклад одной петли в неприводимую трехточечную вершинную функцию КЭД с одной частицей. УФ-расхождение (= полюс в размерной регуляризации), проявляющееся в интеграле с одной петлей, вычитается через константу перенормировки заряда с одной петлей. Если вы никогда раньше не выполняли такие вычисления, может быть полезно выполнить, например, четырехточечную вершинную функцию в скалярной теории phi^4, чтобы сложности манипуляций с алгеброй Дирака не отвлекали от концептуальной идеи.

Я бы написал полную вершинную функцию QED $V^{\mu}$ как

В^{мю} "=" - я Z_{1} е_{0} γ^{мю} + В^{мю, (1)} (п, п^{'}) + \dots,

$V^{\mu} = -iZ_1 e_0 \gamma^{\mu} + V^{\mu,(1)}(p,p’) + \dots,$ с

e_{0}

$e_0$ голый параметр, входящий в лагранжиан. Затем на уровне дерева заряд не перенормируется, поэтому происходит расширение

Z_{1}

$Z_1$ формы

Z_{1} - 1 "=" Z_{1}^{(1)} е_{0}^{2} + \dots

$Z_1-1 = Z_1^{(1)} e_0^2 + \dots$ Вставка этого в

V^{μ}

$V^{\mu}$ дает

В^{мю} "=" - я е_{0} γ^{мю} - я Z_{1}^{(1)} е_{0}^{3} γ^{мю} + В^{мю, (1)} (п, п^{'})

$V^{\mu} = -ie_0\gamma^{\mu} - iZ_1^{(1)} e_0^3 \gamma^{\mu} + V^{\mu,(1)}(p,p’)$ которая является голой вершиной взаимодействия на уровне дерева, вершиной счетчика и коррекцией одного цикла соответственно.

Записав соответствующее интегральное представление для диаграммы с одной петлей, как вы это сделали для вклада собственной энергии в электрон, вы должны с минимальным вычитанием найти

Z_{1}^{(1)} \propto - \frac{1}{4 π} \frac{1}{ϵ},

$Z_1^{(1)} \propto -\frac{1}{4 \pi} \frac{1}{\epsilon},$ это минус УФ-расхождение интеграла с одной петлей.

Йохани · Answer 2

Чтобы ответить на мой собственный вопрос, ближе всего я пришел к решению, используя данные пропагаторы в $(2)$ показывал $(3)$ до знака минус, который, как я предполагаю, отсутствует в термине $\gamma^{\alpha}\left(p-q\right)_{\alpha}$ .

В моем первом выводе я использовал тождества гамма-матрицы для подписи. $(+---)$ . Однако для выбора метрики $(-+++)$ тождества, которые следует использовать,

γ_{о} γ^{о} "=" - 4

$\gamma_{\sigma}\gamma^{\sigma}=-4$

γ_{мю} γ^{о} γ^{мю} "=" 2 γ^{о}

$\gamma_{\mu}\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu}=2\gamma^{\sigma}$

Упрощение выражения квантовой электродинамики

Йохани

секавара

Йохани

Кнчжоу

флиппифанус

секавара

Йохани

КАФ

Йохани

СлучайныйПреобразование Фурье

Йохани

СлучайныйПреобразование Фурье

Йохани

InertialObserver

Ответы (2)

КАФ

Йохани

Диаграммы Фейнмана для взаимодействия Юкавы

Как рассчитать диаграмму Фейнмана собственной энергии?

Ω0c→Σ+K−K−π+Ωc0→Σ+K−K−π+\Omega^0_c \to \Sigma^+ K^-K^- \pi^+ Диаграмма Фейнмана

Какая вершина КТП вызовет электромагнитное рассеяние электрона на заряженной частице со спином 0?

Рассеяние Мёллера

Диаграммы Фейнмана для квадратичного члена взаимодействия

Электрон-позитронное рассеяние с использованием правил Фейнмана — интегрирование Q

Оператор электромагнитного тока с использованием правил Фейнмана

Базовая КЭД. Как получаются выражения сохраняющихся зарядов с помощью лестничных операторов?

Однопетлевая диаграмма ϕ→ϕϕ→ϕ\phi \to \phi в теории gϕ3gϕ3g\phi^3