Явные нетривиальные примеры в квантовой механике: вырождение основного состояния

Question

Явные нетривиальные примеры в квантовой механике: вырождение основного состояния

346699

Вырождение в основном состоянии происходит всякий раз, когда существует унитарный оператор, который нетривиально действует на основное состояние и коммутирует с гамильтонианом системы.

Я просто хочу найти потенциал $V(\mathbf{r})$ , не обязательно центральный потенциал, так что уравнение Шредингера в d-мерном (без внутренних степеней свободы, таких как спин)

Е Ψ (р) знак равно [\frac{- ℏ^{2}}{2 мю} \nabla^{2} + В (р)] Ψ (р)

$E\Psi (\mathbf {r})=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} )$ имеет вырожденное основное состояние.

Я пробовал много способов, но потерпел неудачу.

1 Например, при потенциальном $V(\mathbf{r})$ , и решить собственную энергию $E_0, E_1\cdots$ . я хочу построить $H'=H-(E_1-E_0)|1\rangle\langle1|$ , но эта часть $(E_1-E_0)|1\rangle\langle1|$ в позиционном представлении не является локальным потенциалом.

2 Конечно, легко построить конечномерную квантовую систему с вырождением в основном состоянии, то есть мы можем записать гамильтонову матрицу как диагональную матрицу с несколькими младшими собственными значениями $H=diag(E_0,E_0,E_1 )$ . Но я не хочу этого тривиального пути.

3 Также легко построить квантово-механическую систему с внутренней степенью свободы, такой как спин. А внутренние степени свободы не имеют динамики. Например, модель водорода со спиновой степенью свободы. Для минимальной энергии $n=1,l=0$ , мы можем иметь $s=\pm1/2$ с той же энергией. Этот способ также тривиален.

4 И мы знаем, что состояние рассеяния в 1-dim имеет непрерывный спектр, и каждое состояние является дважды вырожденным. я хочу построить $V(\mathbf{r})\ge0$ такой, что

\underset{| р | \to \infty}{лим} В (р) \to 0

$\lim_{|\mathbf{r}|\rightarrow\infty}V(\mathbf{r})\rightarrow 0$ Хотя все

E > 0

$E>0$ иметь дегенерацию,

E = 0

$E=0$ по-прежнему уникален.

5 Конечно, в 1-дим, если $V(x)$ является двойным бесконечным глубоким потенциалом, мы можем иметь вырожденное основное состояние. Но и этот пример тривиален.

6 Потенциал со спонтанно нарушенной симметрией, например $V(x)= -x^2 +x^4$ , тоже невозможно. Между четной и нечетной четностью существует энергетический разрыв.

Итак, мой вопрос заключается в том, помимо вышеприведенных тривиальных примеров, можем ли мы построить пример, который в d-dim частице без внутренней степени свободы, такой как спин, может иметь вырожденное основное состояние в некотором потенциале.

Этот вопрос может быть вопросом в функции с частными производными. Если такое $V(\mathbf{r})$ не существует, как доказать.

ФраШелле

Я не уверен, что понимаю вопрос: будет ли работать симметричный двойной потенциал? В любом случае вы можете описать вырожденное состояние как внутреннюю степень свободы, если хотите. Я не уверен, что в этом случае номенклатура находится под полным контролем. Какой должна быть внутренняя степень свободы? Что было бы вырожденным состоянием, как не состоянием, нетривиально преобразующимся под действием оператора, коммутирующего с гамильтонианом? Для симметричного потенциала двойной ямы оператор является пространственно-инверсным: обе волновые функции

Ψ (x)

$\Psi(x)$ а также

Ψ (- x)

$\Psi(-x)$ отдавать ту же энергию.

ФраШелле

Чтобы построить вырожденное состояние как внутреннюю степень свободы, предположим, что у вас есть потенциал двойной ямы. Он имеет вырожденное состояние в случае симметричного потенциала, и два связанных состояния невырождены, когда потенциал наклонен (т.е. он становится асимметричным). Эти состояния отделены от остальных собственных состояний щелью (поскольку мы обсуждаем квантовую механику, мы обсуждаем только энергетические уровни (а не зоны), и поэтому щели всегда существуют...). Теперь спроецируйте свою модель на самые низкие собственные состояния, и вы получите изображение сферы Блоха, которое вы можете представить с помощью матриц Паули.

ФраШелле

Иными словами, пространство дважды вырожденных состояний изоморфно двухуровневой системе. Я должен еще немного подумать, чтобы записать явный изоморфизм (и, возможно, это стоит вопроса), но очевидно, что это основная вещь в квантовой механике. Откройте любую книгу по двухуровневой системе, вы должны увидеть это утверждение.

346699

@FraSchelle Я просто хочу построить потенциал

V (r)

$V(\mathbf{r})$ . Не нужен центральный потенциал, и не стоит проблема в 1-дим. В этом потенциале уравнение Шредингера может иметь вырожденное основное состояние.

пользователь2309840

Можно было бы подумать, что вам нужен бесконечный потенциальный энергетический барьер, который предотвращает туннелирование, чтобы получить вырождение. В противном случае рассмотрим локализованные состояния, связанные с минимумами некоторого потенциала,

ψ_{i} (r)

$\psi_i(r)$ . Я считаю, что всегда можно понизить энергию, взглянув на линейную комбинацию

\sum_{i} c_{i} ψ_{i} (r)

$\sum_i c_i \psi_i(r)$ . В симметричном потенциале двойной ямы, упомянутом выше, (уникальное) основное состояние будет

(ψ_{1} (r) + ψ_{2} (r)) / \sqrt{2}

$(\psi_1(r) + \psi_2(r))/\sqrt{2}$ .

346699

@ user2309840 Спасибо. Обратный отсчет до третьего абзаца, я исключаю такую возможность.

ФраШелле

@user2309840 user2309840 Я не уверен, что понимаю вашу конструкцию: предположим

ψ_{1}

$\psi_1$ а также

ψ_{2}

$\psi_2$ являются вырожденными собственными состояниями, проверяющими

H ψ_{1, 2} = E ψ_{1, 2}

$H\psi_{1,2}=E\psi_{1,2}$ , тогда ясно

(ψ_{1} + ψ_{2}) / \sqrt{2}

$\left(\psi_{1}+\psi_{2}\right)/\sqrt{2}$ также является собственным состоянием, оно имеет собственное значение

\sqrt{2} E

$\sqrt{2}E$ , больше, чем собственное значение

ψ_{1}

$\psi_1$ или же

ψ_{2}

$\psi_2$ ...

ФраШелле

@ user34669 Я не уверен, что понял ваш предыдущий комментарий.

V (x) = - x^{2} + x^{4}

$V\left(x\right)=-x^{2}+x^{4}$ является потенциалом двойной ямы в явном виде (добавьте некоторый неединичный параметр перед

x^{2, 4}

$x^{2,4}$ если хотите). Вы хотите игнорировать эту возможность, потому что она одномерная и симметричная по четности? Или вам достаточно?

пользователь2309840

@FraSchelle Они не будут точными собственными состояниями. В лучшем случае они будут примерно собственными состояниями, и можно найти состояние с меньшей энергией с помощью вариационного анзаца

(ψ_{1} + ψ_{2}) / \sqrt{2}

$(\psi_1 + \psi_2)/\sqrt{2}$ .

пользователь2309840

Здесь есть соответствующее обсуждение: mathoverflow.net/questions/27016/…

346699

@FraSchelle Вы можете проверить этот потенциал, основное состояние по-прежнему уникально. Основное состояние имеет четную четность, а собственная энергия нечетной четности больше, чем у четной.

Ответы (1)

Явные нетривиальные примеры в квантовой механике: вырождение основного состояния

Я не уверен, что понимаю вопрос: будет ли работать симметричный двойной потенциал? В любом случае вы можете описать вырожденное состояние как внутреннюю степень свободы, если хотите. Я не уверен, что в этом случае номенклатура находится под полным контролем. Какой должна быть внутренняя степень свободы? Что было бы вырожденным состоянием, как не состоянием, нетривиально преобразующимся под действием оператора, коммутирующего с гамильтонианом? Для симметричного потенциала двойной ямы оператор является пространственно-инверсным: обе волновые функции $\Psi(x)$ а также $\Psi(-x)$ отдавать ту же энергию.
Чтобы построить вырожденное состояние как внутреннюю степень свободы, предположим, что у вас есть потенциал двойной ямы. Он имеет вырожденное состояние в случае симметричного потенциала, и два связанных состояния невырождены, когда потенциал наклонен (т.е. он становится асимметричным). Эти состояния отделены от остальных собственных состояний щелью (поскольку мы обсуждаем квантовую механику, мы обсуждаем только энергетические уровни (а не зоны), и поэтому щели всегда существуют...). Теперь спроецируйте свою модель на самые низкие собственные состояния, и вы получите изображение сферы Блоха, которое вы можете представить с помощью матриц Паули.
Иными словами, пространство дважды вырожденных состояний изоморфно двухуровневой системе. Я должен еще немного подумать, чтобы записать явный изоморфизм (и, возможно, это стоит вопроса), но очевидно, что это основная вещь в квантовой механике. Откройте любую книгу по двухуровневой системе, вы должны увидеть это утверждение.
@FraSchelle Я просто хочу построить потенциал $V(\mathbf{r})$ . Не нужен центральный потенциал, и не стоит проблема в 1-дим. В этом потенциале уравнение Шредингера может иметь вырожденное основное состояние.
Можно было бы подумать, что вам нужен бесконечный потенциальный энергетический барьер, который предотвращает туннелирование, чтобы получить вырождение. В противном случае рассмотрим локализованные состояния, связанные с минимумами некоторого потенциала, $\psi_i(r)$ . Я считаю, что всегда можно понизить энергию, взглянув на линейную комбинацию $\sum_i c_i \psi_i(r)$ . В симметричном потенциале двойной ямы, упомянутом выше, (уникальное) основное состояние будет $(\psi_1(r) + \psi_2(r))/\sqrt{2}$ .
@ user2309840 Спасибо. Обратный отсчет до третьего абзаца, я исключаю такую возможность.
@user2309840 user2309840 Я не уверен, что понимаю вашу конструкцию: предположим $\psi_1$ а также $\psi_2$ являются вырожденными собственными состояниями, проверяющими $H\psi_{1,2}=E\psi_{1,2}$ , тогда ясно $\left(\psi_{1}+\psi_{2}\right)/\sqrt{2}$ также является собственным состоянием, оно имеет собственное значение $\sqrt{2}E$ , больше, чем собственное значение $\psi_1$ или же $\psi_2$ ...
@ user34669 Я не уверен, что понял ваш предыдущий комментарий. $V\left(x\right)=-x^{2}+x^{4}$ является потенциалом двойной ямы в явном виде (добавьте некоторый неединичный параметр перед $x^{2,4}$ если хотите). Вы хотите игнорировать эту возможность, потому что она одномерная и симметричная по четности? Или вам достаточно?
@FraSchelle Они не будут точными собственными состояниями. В лучшем случае они будут примерно собственными состояниями, и можно найти состояние с меньшей энергией с помощью вариационного анзаца $(\psi_1 + \psi_2)/\sqrt{2}$ .
Здесь есть соответствующее обсуждение: mathoverflow.net/questions/27016/…
@FraSchelle Вы можете проверить этот потенциал, основное состояние по-прежнему уникально. Основное состояние имеет четную четность, а собственная энергия нечетной четности больше, чем у четной.

пользователь153663 · Answer 1

Для гамитоновского оператора, подобного этой форме $-\Delta +V(x)$ , основное состояние всегда невырождено в $n$ -dim, если потенциал непрерывен и ограничен снизу, и пусть $-\Delta +V(x)$ быть по существу самосопряженным. Вы можете увидеть доказательство в книге Джеймса Глимма и Артура Джаффе «Квантовая физика» . Или посмотреть доказательство .

Если вы не ограничиваете гамитониан этой формой ( $-\Delta +V(x)$ ), то если положить магнитное поле, то легко построить основное состояние вырождения. см. уровень Ландау.

Явные нетривиальные примеры в квантовой механике: вырождение основного состояния

346699

ФраШелле

ФраШелле

ФраШелле

346699

пользователь2309840

346699

ФраШелле

ФраШелле

пользователь2309840

пользователь2309840

346699

Ответы (1)

пользователь153663

Определенная четность решений уравнения Шредингера с четным потенциалом?

Четные и нечетные состояния одномерной конечной потенциальной ямы

Почему энергия основного состояния частицы в ящике отлична от нуля?

Группа Ли волнового уравнения Шредингера

Симметрии дифференциального уравнения, его решения и атом водорода

Почему орбитали несимметричны?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?

Отрицательный потенциал бесконечной квадратной ямы

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана