Симметрии дифференциального уравнения, его решения и атом водорода

Гамильтониан водорода можно записать как

$$H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{e^2}{r}$$ где$p_r$– радиальная составляющая импульса. С$H$зависит от$L^2$,$p_r$и$r$, гамильтониан коммутирует с каждой компонентой$\mathbf L$: $$[H, \mathbf L] = 0,$$ что, в свою очередь, означает, что мы можем одновременно диагонализовать$H$,$L^2$и один из компонентов$\mathbf L$(сказать,$L_z$). Теперь мы можем ввести оператор вращения: $$D(\phi, \mathbf n) = \exp \left (- \frac{i \mathbf L \cdot \mathbf n \phi}{\hbar} \right ),$$ который поворачивает состояния на угол$\phi$вокруг единичного вектора$\mathbf n$. Мы можем преобразовать гамильтониан при вращении следующим образом: $$H \to H' = D(\phi, \mathbf n)^\dagger H D(\phi, \mathbf n).$$ Но$H$коммутирует с$\mathbf L$, так$H$также ездит с$D$, и поэтому$H' = D^\dagger D H = H$. Мы доказали, что гамильтониан инвариантен относительно вращений. Это означает, что произойдут некоторые вырождения, т. е. некоторые состояния будут иметь одинаковую энергию. Обратите внимание, однако, что в отличие от того, что я сказал ранее (что было ошибкой), вы не можете изменить одно состояние$|nlm\rangle$создать один с разными$m$вокруг$z$-ось. Поскольку собственные состояния гамильтониана также являются собственными состояниями$L_z$, оператор вращения только введет фазовый фактор в состояние: $$D(\phi, \mathbf{\hat z})|nlm\rangle = \exp\left (-\frac{iL_z \phi}{\hbar} \right ) |nlm\rangle = e^{-im\phi}|nlm\rangle$$ Но состояния с разными$m$ортогональны (их внутренний продукт равен нулю), что явно не так для повернутого состояния выше: $$\langle nlm | \big(D |nlm\rangle\big) = e^{-im\phi} \neq 0.$$ Теперь вращение вокруг$x$или$y$-ось изменит значение$m$с$|nlm\rangle$не является собственным состоянием$L_x$или$L_y$. Действительно, можно написать$L_x$и$L_y$с точки зрения лестничных операторов$L_\pm = L_x \pm i L_y$которые увеличивают/уменьшают значение$m$вычислить действие оператора вращения. Единственное, что я могу вам гарантировать, это то, что в конце концов вы придете, по крайней мере , к линейной комбинации состояний с одинаковыми$n$и$l$но с разным$m$с.

Нельзя преобразовать$p$орбитальный в$d$орбитальный на вращение. Это связано с тем, что генераторы вращений являются операторами углового момента, и их действие может связывать только состояния с одинаковым значением$\ell$квантового числа углового момента. Таким образом, повороты могут соединять состояния только с одинаковыми$\ell$.

В случае приведенного вами примера четности четность$P$и единица образуют абелеву группу, и все представления (их два) имеют размерность один, поэтому, если уравнение ТИСЭ Шрёдингера также$P$-инварианты, то решения могут иметь как четную, так и нечетную четность. Это имеет место, например, для симметричных потенциалов, для которых$V(-x)=V(x)$.