Зачем нам SU(2)×U(1)SU(2)×U(1)SU(2)\times U(1) инвариантных массовых членов, если симметрия все равно будет нарушена?

Потому что «спонтанное нарушение симметрии» на самом деле не нарушает никакой симметрии. Это довольно важный принцип, который не всегда адекватно преподается.

При спонтанном нарушении симметрии рассматриваемая симметрия всегда является полной симметрией теории. Разница между спонтанно нарушенной симметрией и ненарушенной симметрией заключается только в том, как реализуется симметрия. В случае спонтанного нарушения симметрия нетривиально влияет на вакуумное состояние системы и часто нелинейно действует на поля.

Для стандартной модели невероятно важно, чтобы$SU(2)\times U(1)$симметрия не нарушается, потому что это калибровочная симметрия. Теория взаимодействующих векторных бозонов со спином 1 требует полностью ненарушенной калибровочной симметрии, иначе теория не будет унитарной. В разумной квантовой теории может быть много сумасшедших вещей, но она должна быть унитарной, и, следовательно, лагранжиан Стандартной модели должен содержать только члены, которые не нарушают калибровочную инвариантность.

Механизм Хиггса важен, потому что теоретики, наконец, выяснили, как согласовать теоретическое требование, чтобы теория обладала ненарушенной калибровочной симметрией, и экспериментальное требование, чтобы калибровочные бозоны/фермионы имели массу. Механизм Хиггса говорит вам, как начать с теории с членами, которые не нарушают калибровочную инвариантность, и превратить ее в теорию с явно нарушенной симметрией, не нарушая унитарности.

Калибровочная группа симметрии, связанная с СМ, равна$SU\left(3\right)_{c}\times SU\left(2\right)_{L}\times U_{Y}\left(1\right)$. Тогда мы не можем построить лагранжиан СМ с членами вида$m\bar{\psi}\psi$потому что они не являются калибровочно-инвариантными. Термин такого рода смешивает правостороннюю и левостороннюю части, которые трансформируются по-разному. Чтобы придать массу электрослабым бозонам и фермионам, вводится скалярный дублет. После разработки ненулевого VEV$\left(\left\langle \phi\right\rangle _{0}\right)$, мы говорим, что$SU\left(2\right)_{L}\times U\left(1\right)_{Y}$самопроизвольно прерывается. Это означает, что вакуум не имеет симметрии лагранжиана. Но обратите внимание, что лагранжиан по-прежнему обладает необходимой калибровочной симметрией. Как только ВЭВ получен, мы параметризуем колебания вокруг ВЭВ, вводя некоторые голдстоуновские бозоны и скалярное поле (Хиггса). В унитарной калибровке это означает, что мы выбираем калибровку, мы удаляем нефизические степени свободы (голдстоуновские бозоны), которые съедаются калибровочными бозонами, связанными со сломанными генераторами, приобретая массу.

В случае фермионов члены, которые мы можем построить с помощью этого дублета, имеют вид, который вы написали. После разработки VEV и выбора датчика они принимают форму, которую вы говорите, но это ключ, вы выбираете датчик, термин больше не является инвариантным относительно датчика. Однако теория по-прежнему калибровочно инвариантна.

В двух словах, как пишет Люк Притчетт, механизм Хиггса дает нам описание массы частиц без нарушения унитарности, т.е. явным образом нарушая калибровочную симметрию. Интересен тот факт, что даже если исходить из электрослабой теории в нарушенной фазе и не знать о бозоне Хиггса,$W/Z$-бозона и существования скрытой калибровочной инвариантности (т.е. из теории Ферми), то требование древовидной унитарности приведет Вас к СМ ларгангиану, который в точности похож на бозон Хиггса (см. Хорейси, "Введение в электрослабое объединение...") .

Но правильнее сказать, что из-за механизма Хиггса физические состояния, т. е. частицы, не формируют представления полной калибровочной группы ниже шкалы кроссовера EW (см. 'т Хофт, Концептуальные основы КХД, глава 4 ) . Однако без фиксации калибровки калибровочная инвариантность лагранжиана не нарушается даже при смещении дублета Хиггса на заданном ВЭВ (это можно было бы пояснить на простом случае механизма Хиггса для$U(1)$калибровочной теории), т. е. полная теория калибровочно-инвариантна. В этом большая разница между механизмом Хиггса и спонтанным нарушением симметрии, где даже ниже масштаба SSB физические состояния формируют представление «нарушенной» группы, подобно тому, как мезоны формируют нелинейное представление$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$, который спонтанно нарушается в КХД. Например, три скалярных поля дублета Хиггса, будучи физическими бозонами выше шкалы электрослабого кроссовера, ниже нее становятся нефизическими призраками. Это хорошо видно в унитарной калибровке, которая дает в спектре только физические частицы.

Более того, можно посмотреть на кроссовер SM ниже EW калибровочно-инвариантным способом, см. статью .