Это очень хороший вопрос. Хотя может показаться «естественным», что мир упорядочен подобно векторному пространству (это порядок, к которому мы привыкли!), на самом деле это совершенно неестественное требование для физики, которая должна строиться только на локальных законах. Почему вообще должен существовать идеальный дальний порядок пространства? Почему пространство простирается отсюда до конца видимой Вселенной (который сейчас находится примерно в 40 миллиардах световых лет) как близкая к тривиальной математическая структура без какой-либо идентифицируемой причины для этой структуры? Везде, где у нас есть подобные структуры, такие как кристаллы, существуют причинные силы, которые являются как локальными (взаимодействие между атомами), так и глобальными (термодинамика упорядоченной фазы, которая имеет более низкую энтропию, чем возможные неупорядоченные фазы), которые ответственны за этот дальний порядок. . Мы не

Если не удается найти очевидную причину (а мы до сих пор этого не сделали), то предположение о том, что пространство «должно быть упорядочено так, как оно есть», не является естественным, и вся теория, которую мы строим на этом предположении, построена на халтура, происходящая от невежества.

«Зачем вообще нам нужна свободная координата?»… ну, не ясно, нужна ли она нам. То, что мы использовали их и довольно успешно, не означает, что они были необходимы. Это означает лишь то, что они были удобны для описания макроскопического мира. Это удобство, к сожалению, прекращается, когда мы имеем дело с квантовой теорией. Интегрирование по всем возможным состояниям импульса в КТП — невероятно дорогая и грязная операция, приводящая к ряду тривиальных и не очень дивергенций, с которыми приходится постоянно бороться. Есть несколько намеков из природы и теории на то, что на самом деле может быть дурацкой затеей смотреть на природу таким строго упорядоченным образом и что попытки упорядочить микроскопически вызывают больше проблем, чем решают.https://www.youtube.com/watch?v=sU0YaAVtjzE . Разговор намного лучше в начале, когда он излагает проблемы с рассуждениями, основанными на координатах, а затем переходит к нерешенной проблеме, как ее преодолеть. Во всяком случае, этот доклад — прекрасное понимание творческого хаоса современной теории физики.

В качестве последнего замечания я хотел бы предупредить вас о склонности человеческого ума принимать то, что он слышал от других, как «совершенно нормальное и изобретенное здесь». Кто-то рассказал вам о$\mathbb R$и вы восприняли это так, как будто это самая естественная вещь в мире, что неисчислимая бесконечность несуществующих объектов, называемых «числами», должна существовать и что они должны волшебным образом отображаться на объекты реального мира, которые вполне исчислимы и никогда не бесконечны. Никогда так не делай! Ни в физике, ни в политике.

Зачем вообще нужны бесплатные координаты?

Позвольте мне рассказать вам о похожем опыте обучения студентов. Когда я попрошу их дать определение скалярному произведению, подавляющее большинство напишет что-то вроде

$$\vec{v}\cdot \vec{w} = v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z \qquad (1)$$ т.е. описание на основе координат . Однако время от времени студент ошибается и пишет что-то вроде этого. $$\vec{v}\cdot \vec{w} = |(v_x w_x , v_y w_y , v_z w_z)| \qquad (2)$$ (Это на удивление распространено; я преподаю вводный курс по математическим методам и вижу его по крайней мере раз в семестр...)

Конечно, вы можете научить их делать (1) вместо (2), но объяснить, почему (1) «правильно» и (2) «неправильно» в описании координат, довольно сложно. Почему бы нам не объединить векторы типа (2)?

Что я делаю в этом случае, так это вхожу в описание без координат. Там очевидно, что$\vec{v}\cdot\vec{w} = |v||w|\cos\theta$инвариантен относительно вращений, тогда как вы можете легко проверить, что (2) не является. Поскольку физические законы инвариантны относительно вращения, любое их математическое выражение может использовать только операции, сохраняющие вращательную симметрию. Поэтому (1) хорошо, а (2) нехорошо.

Таким образом, это показывает, по крайней мере, одно преимущество бескоординатных описаний: они сразу делают симметрию уравнений ясной.

Это отличный вопрос с тремя отличными ответами, и вот я немного опоздал на вечеринку. Есть две важные вещи, которые, кажется, не затрагивают приведенные выше ответы, поэтому я попытаюсь дать действительно простое объяснение на этих уровнях.

Локальность/многообразия

Я собираюсь дать вам одно техническое определение многообразия , следуя книге Пенроуза « Спиноры и пространство-время» , но я постараюсь сохранить это легким и здравым смыслом. Начнем с того, что на секунду забудем, что еще мы знаем о пространстве, и сосредоточимся на одном: пространство-время — это набор «точек». Конечно, это не «дискретное» множество (в нем неисчислимо бесконечное количество точек), но пространство-время фундаментально определяется тем фактом, что оно содержит эти другие объекты, которые являются «точками» в пространстве-времени, и мы не можем действительно определить эти точки дальше . Это просто какие-то атомарные штуки, о которых мы можем говорить, а пространство-время — это множество$\mathcal S$из этих точек.

Очевидно, что без дополнительной информации мы в значительной степени застряли.

Стрелки как информация

Простейшей формой информации является создание допустимых скалярных полей . $\mathcal A \subseteq (\mathcal S \rightarrow \mathbb R)$, что значит "$\mathcal A$есть некоторое подмножество (или равное) функций, принимающих точки в$\mathcal S$к числам в$\mathbb R$.» Мы могли бы назвать эти «скалярные поля», но, может быть, даже лучше было бы украсть какую-нибудь теорию категорий и назвать их «стрелками». Ограничивая стрелки, которые мы выбираем в наборе$\mathcal A$мы действительно можем настроить, насколько суетливы/привередливы мы в своих описаниях$\mathcal S$, так как это наш единственный инструмент для описания$\mathcal S$. Тем не менее хорошо сделать некоторые действительно основные предположения. Одно широкое предположение касается закрытия : предположим ,$f$является гладкой функцией$\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$, то имеет смысл, если$a_1, \dots a_n$все стрелки (скалярные поля в$\mathcal A$), то скалярное поле$p \rightarrow f(a_1(p), \dots, a_n(p))$тоже должно быть в$\mathcal A$. Я собираюсь снова использовать эти smooth-функции, так что давайте напишем$p \rightarrow f(a_1(p), \dots, a_n(p))$в качестве$f[a_1, \dots, a_n]$с квадратными скобками, чтобы напомнить себе, что мы «поднимаем» определение$f$из$\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$к$\mathcal A^n \rightarrow \mathcal A$«наиболее очевидным» способом, который мы можем.

Эта аксиома замыкания дает нам полезные операции, такие как$+$а также$\cdot$на стрелках, «поднимая» эти операции из вещественных чисел в скалярные поля в$\mathcal A$. На самом деле закрытие$\mathcal A$дает нам нечто еще более глубокое: «топологию закрытого множества ядра». Определить набор$s \in \mathcal S$как «замкнутый», если существует стрелка$a \in \mathcal A$такой, что$\operatorname{ker} a = s$(другими словами,$s$это множество точек, которые$a$принимает к номеру$0$). Определить множество как открытое, если его дополнение к множеству замкнуто. Этот набор определений называется топологией (если он соответствует определенным аксиомам, которые гарантирует аксиома замыкания), и он позволяет вам определить, что означает для карт быть «непрерывными» (которыми, как оказалось, являются все стрелки). Это делается с некоторыми другими определениями: например, «окрестность» точки - это открытое множество, содержащее эту точку.

Так что если$\mathcal S$является 2-сферой (т. е. поверхностью 3-шара), очевидно, что нужно использовать 3D-координаты и присваивать значения$x$,$y$, а также$z$к сфере, допускающей любые гладкие функции$\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$из этих трех чисел будут наши «стрелки».

Координаты в виде стрелок

И теперь мы можем, наконец, поговорить о том, что значит иметь координаты , добавив еще одну аксиому на$\mathcal A$: для каждой точки$s \in S$тогда у него есть окрестности$N_s$и несколько стрел$c^s_1, ... c^s_d$такое, что если две точки$p, p' \in N_s$разные ($p \ne p'$), то какая-то координата другая ($c^s_i(p) \ne c^s_i(p')$для некоторых$i$). Таким образом, стрелки можно использовать локально, чтобы различать точки.

Обратите внимание, что мы можем сделать это с 2 координатами на 2-сфере — мы можем сделать это локально, но не глобально. ($\theta$это не стрела; она имеет разрыв.) Поэтому, если точка находится в северном или южном полушарии, мы можем использовать$x, y$как координаты. Если это на экваторе, нам либо нужно использовать$x, z$или же$y, z$как координаты. Существуют непрерывные функции, отображающие$x \le 0$к$0$и так далее, так что это все, что нам нужно: окрестности — это полушария.

Это дает очень техническую, но на 100% вескую причину «зачем нам нужны описания без координат»: как только вы знаете, что такое координаты , тот факт, что они локальны для определенных точек в пространстве-времени, означает, что любое определение, зависящее от координат, действительно только в районе вашего текущего положения . Вы начинаете давать двухмерное описание своего мира с точки зрения севера/юга и востока/запада, но ваше описание терпит неудачу, когда вы начинаете двигаться более чем на 10 000 км на восток или запад. Как только вы достаточно хорошо определите свою функцию, она станет стрелкой и, следовательно, «без координат».

Точно так же вы часто видите, как люди говорят, что «достижение черной дыры займет целую вечность» или «время останавливается на горизонте событий» или подобные вещи. На самом деле мы уже давно знаем, что это неправда , и это ошибка того же рода. Если вы стоите на месте и находитесь далеко от черной дыры, у вас есть определенные координаты, которые «естественны» для ее описания. Получается, что ваши координаты не могут пройти через горизонт событий черной дыры. Но это не значит, что это важноне мочь. На самом деле, мы обнаружили, что существуют «сопутствующие координаты», набор координат, используемый кем-то, кто естественным образом падает в черную дыру, и которые отлично подходят для пересечения горизонта событий черной дыры. Просто когда ты уходишь за горизонт событий в свое местное время$t$, вы перестаете посылать свет о себе человеку, находящемуся далеко от черной дыры: так что последнее изображение, которое они видят, относится к вашему времени.$t$, и поскольку свет из того времени должен все больше и больше избегать гравитации, чем ближе вы подходите к горизонту, изображения из того времени занимают все больше и больше времени, чтобы добраться туда. С их точки зрения, тогда, конечно, это как бы «выглядит так», что вам потребуется вечность, чтобы добраться до черной дыры, и, как и все на горизонте событий, «перестанет меняться» и все такое. Но это потому, что их координаты не могут пройти через него.

Векторные поля делают это еще более очевидным

Другой пример: теперь вы можете начать определять векторные поля на нашем$(\mathcal S, \mathcal A)$топологическое пространство как деривации : функции от стрелок к стрелкам, которые удовлетворяют «цепному правилу» в том смысле, что, если$f$является гладкой функцией$\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$(помните такие?) где$f_(i)$является первой производной от$f$относительно его$i^{\text{th}}$параметр, то

$$\mathbf v(f[a_1,\dots,a_n]) = \sum_{i=1}^n f_{(i)}[a_1, \dots, a_n] \cdot \mathbf v(a_i).$$ Заметьте еще раз, что это означает, что $\mathbf v(a + b) = \mathbf v(a) + \mathbf v(b)$а также $\mathbf v(a \cdot b)$знак равно $a \cdot \mathbf v(b) + \mathbf v(a) \cdot b$. Мы получаем много от этих гладких функций $\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$! (Если вы никогда раньше не видели вывод векторного поля в евклидовом пространстве с вашими обычными ортонормированными координатами, скалярный продукт $\langle\cdot,\cdot\rangle$и векторные поля, вывод, соответствующий полю $\vec v$это функция $\mathbf v(f) = \langle \vec v, \nabla f \rangle$.

Теперь локально вы можете определить ненулевые везде векторные поля в ваших координатах, соответствующие этим правилам: но на 2-сфере нет векторных полей, которые не равны нулю везде. У этого есть очаровательное название «теорема о волосатом шаре», и если вы интерпретируете векторные поля на 2-сфере как профили ветра, это говорит о том, что по существу всегда есть по крайней мере два «циклона» (измеряется путем подсчета глаз бури). где скорость ветра равна 0) на сфере.

Вы не ожидали этого с вашими описаниями ветра, основанными на координатах, не так ли?

Обобщенные координаты

На самом деле независимость от координат приносит пользу не только многообразиям и общей теории относительности: намного раньше, в школьные годы, мы начинаем учить студентов вариационному исчислению и обобщенным координатам . Обычный способ мотивировать это - проблема брахистохроны:

Рассмотрим американские горки без трения, движущиеся исключительно под действием силы тяжести, начиная с$(-L, 0)$и заканчивается в$(L, 0)$. Найти трек$y(x)$которые должны пройти американские горки, чтобы поездка от начала до конца занимала наименьшее количество времени.

Мы видим две крайности. Подумайте о дорожке, которая идет прямо вниз с какой-то очень высокой высоты$h$, за которым следует резкий поворот, который преобразует все это в поступательный импульс в$(-L, -h)$, за которым следует резкий поворот, который преобразует все это в восходящий импульс в$(L, -h)$. Из энергии мы знаем, что скорость внизу этой дорожки равна$v^2 / 2 = g h$или же$v = \sqrt{2 g h}$. Скорость свободного падения линейно возрастает от$0$к$h$, поэтому они усредняют половину этой скорости,$\sqrt{g h / 2}$. Таким образом, общее время для этого типа трека составляет

$$T = \frac{2 h}{\sqrt{g h / 2}} + \frac{2 L} {\sqrt{2 g h}} = \frac {4 h + 2 L} {\sqrt{2 g h}}.$$

Две крайности здесь$h \rightarrow 0$куда$T \rightarrow \infty$(нет свободного падения, но и не хватает скорости вперед) и$h \rightarrow \infty$куда$T \rightarrow \infty$также (двигаясь бесконечно быстро, вы пересекаете$2L$расстояние в мгновение ока - но вам понадобится вечность, чтобы упасть достаточно далеко, чтобы добраться туда. С помощью некоторых вычислений вы даже можете найти минимум$T$между ними, предполагая такую ​​форму пути, но есть и другие, более извилистые пути , которые нужно исследовать между этими прямыми линиями.

Проблема в том , что эти «крутые повороты» в приведенном выше примере являются единственными ограничивающими силами, которые являются «хорошими». Ограничивающая сила должна действовать в тандеме с импульсом частицы, направляя этот импульс в разрешенных направлениях. А если вы еще не знаете траекторию, то вы еще не знаете направление ограничивающей силы, не говоря уже о ее величине! Таким образом, самую важную силу в этой задаче (фактически, единственную силу, кроме гравитации) на самом деле довольно трудно вычислить, даже если мы предположим, что у вас есть форма для$y(x)$. Эту задачу трудно решить с помощью классических, основанных на координатах методов и сил и тому подобного.

Нечто подобное происходит и с двойными маятниками : сила принуждения, удерживающая две части маятника на одном и том же расстоянии, постоянно меняет свое направление; как ты собираешься справиться с этим? Что ж, было бы неплохо, если бы у вас было независимое от координат понимание физики, чтобы вы могли выбирать координаты, обеспечивающие выполнение ограничений — в данном случае$\theta_1, \theta_2$, а потом делать физику с такими ? В конце концов, если вы выберете правильные координаты , вам не придется моделировать ограничивающую силу . А затем вы можете получить несколько дифференциальных уравнений для двойного маятника, доказать, что он хаотичен, и построить два из них, чтобы показать хаос в вашем классе.

Позвольте мне сначала сказать вам, что то, что вы читаете, очень расплывчато. В ОТО законы физики предполагаются независимыми от наблюдателя. Наблюдатель представлен системой отсчета, которую наблюдатель использует для измерения физических явлений.

Существует набор преобразований координат, которые связывают наблюдаемые для разных наблюдателей. Скажем, например, скорость автомобиля, наблюдаемая неподвижным наблюдателем, и наблюдатель, движущийся с постоянной скоростью по отношению к неподвижному наблюдателю, связаны преобразованиями Галилея (это просто пример, не читайте слишком много).

Когда мы говорим, что физика не имеет координат, мы имеем в виду, что уравнения физики сохраняют свою форму, когда мы переходим из одной системы отсчета в другую.

Говоря менее формально, если есть два наблюдателя с разными пространственно-временными координатами, и они пытаются вывести законы физики посредством серии экспериментов в своих соответствующих системах отсчета, они должны получить одни и те же законы физики или уравнения они находят, что законы физики должны быть одинаковыми. Скажем, для электродинамики оба должны получить уравнения Максвелла.

Представление независимости от координат в очевидной форме называется ковариантным представлением (которое вы можете проверить, если интересно).

Поскольку вы читаете дифференциальные уравнения, самое близкое, что я могу придумать для вас, чтобы понять это, - это найти представление уравнения геодиска без координат и попытаться сделать произвольное преобразование координат и наблюдать, как форма остается той же.

Что касается того, почему нам нужно описание без координат, то это просто потому, что описание без координат правильно дает все экспериментальные результаты, и более сложное описание, зависящее от координат, не требуется.

Зачем вообще нужно бескоординатное описание?

Прежде всего, в физике у нас есть бескоординатное описание.

Рассмотрим ваш пример:

Когда я иду из школы к себе домой

Описание этого состоит из

• ты и школа (здание) удаляясь друг от друга,
• ты и твой дом встретились друг с другом,

и, заполнив еще несколько деталей,

• ваши ноги встречаются и проходят определенные составляющие «тротуара»; между вашим заявлением об уходе из школы и вашим заявлением о прибытии в ваш дом.

(Можно добавить еще больше подробностей, например, что еще вы наблюдали в связи с тем или иным из этих «шагов», которые вы делали,
и что наблюдали за вами школа, ваш дом и различные идентифицируемые элементы тротуара. и друг друга.)

Вот и все, что касается физического, геометрического описания.
Ничего значимого не добавляется, если посыпать элементы описания любыми кортежами вещественных числовых значений в качестве координат.

Я иду по 2D плоскости

В самом деле, идентифицируемые составляющие тротуара (которых касались ваши ноги или даже за его пределами) могут, например, определить, что они находились (по крайней мере, в некотором приближении) в состоянии покоя друг относительно друга и в плоскости друг друга.

Опять же: если это было измерено (выведено из того, что соответствующие участники наблюдали друг за другом), то этот результат не изменяется ни при каких координатах.

Теперь, конечно, координаты могут быть назначены для (более или менее) представления геометрических результатов. Например:

• вы можете предпочесть присвоить (шагам) ваши значения координат ходьбы$t$так, чтобы они монотонно возрастали в зависимости от порядка ваших шагов (который вы знаете лучше всего); или же

• идентифицируемым составляющим дорожного покрытия могут быть назначены пары действительных чисел в качестве координат (а не только отдельные числа или тройки и т. д.), потому что (для представления) в результате они были плоскими друг к другу.

Более того:
учитывая расстояния между всеми составляющими покрытия,

$$d : \mathcal P \times \mathcal P \rightarrow \mathbb R,$$

любое однозначное присвоение координат

$$c : \mathcal P \rightarrow \mathbb R^2$$

индуцирует конкретную функцию представления расстояния

$$\mathfrak g : \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R,$$

такое, что для любых двух (не обязательно различных) составляющих$A$а также$B$

$$\mathfrak g[~c[~A~], c[~B~]~] = d[~A, B~].$$

Тогда вы можете, например, предпочесть такие назначения координат, для которых$\mathfrak g$является гладкой функцией обоих своих аргументов.

Решение о том, могут ли результирующие значения быть представлены определенными значениями координат (с их неявными свойствами, относящимися к топологии и алгебре), и в каком смысле, всегда следует за получением таких значений, и особенно за принятием решения о том, как их измерить в первую очередь.