Зачем нужны дополнительные измерения?

На самом деле, давайте попробуем. Это не доказательство наличия дополнительных измерений (в конце концов, ненаблюдение дополнительных измерений/суперсимметрии является одной из главных причин, по которой теория струн не принимается всеми за истину), но это аргумент в пользу того, почему маленькие дополнительные измерения ненаблюдаемы. .

Рассмотрим частицу в ящике в квантовой механике.$n$пространственные размеры. Если вы сделаете это, то уравнение Шредингера для собственного состояния чистой энергии станет (внутри коробки):

И где вы заставляете$\psi$быть равным нулю везде вне ящика и на границе ящика. Используя набор механизмов PDE, включающих разделение переменных, мы обнаруживаем, что единственным решением этого уравнения является бесконечная сумма членов, которые выглядят как

где все$m$являются целыми числами, а$\Pi$представляет произведение с одним синусоидальным членом для каждого измерения в нашем пространстве${}^{1}$. Подставив это обратно в уравнение Шредингера, мы получим, что энергия этого состояния равна

Теперь предположим, что в первом$d$габариты, наша коробка имеет большую ширину$L$, а в последнем$n-d$габариты, наша коробка имеет маленькую ширину$\ell$. Тогда мы можем разбить эту сумму на

Итак, теперь мы можем видеть, что происходит — если$L \gg \ell$, существует гораздо большая стоимость энергии, связанная с перемещением в более ограниченном или меньшем пространстве.$n-d$направлениях, чем при движении в менее стесненных$d$размеры — наименьшие переходы стоят энергии, пропорциональной обратному квадрату размера измерения. Сделав эти измерения достаточно малыми, мы можем гарантировать, что ни один эксперимент, проведенный людьми, даже не приблизился к энергетическому порогу, необходимому для вызова этого перехода, а это означает, что часть волновой функции частицы, связанная с этими дополнительными измерениями, вынуждена оставаться такой, какая она есть. делая их ненаблюдаемыми.

${}^{1}$Так что если$n=2$, типичное состояние будет выглядеть примерно так$\psi=A\sin(\frac{2\pi x}{L_{x}})\sin(\frac{5\pi y}{L_{y}})$

Зачем нужна теория суперструн$9+1$пространственно-временные измерения? Это действительно очень хороший и фундаментальный вопрос. К сожалению, очень сложно ответить на этот вопрос, используя только интуитивные рассуждения неспециалиста.

Виновником является концепция (квантово-механической) аномалии . В общем, наличие аномалий сделало бы квантовую версию любой классической теории$^{1}$математически противоречивы.

Оказывается, условия устранения аномалий для (квантовой) теории струн чрезвычайно ограничительны. Одно из их следствий состоит в том, что решения (пертурбативной, квантовой) теории суперструн в плоском пространстве-времени должны быть$9+1$размерный.

--

$^{1}$Термин « классическая теория » здесь означает теорию, в которой постоянная Планка$\hbar=0$равен нулю. Классическая версия теории струн может существовать в любом пространственно-временном измерении.

Давайте ответим на ваши вопросы по очереди

1. Теории с большим количеством измерений воспринимаются всерьез, потому что их предсказания совпадают с экспериментальными данными. Конечно, тот факт, что мы живем только в 4-х измерениях, сдерживает подобные представления (хотя представление о другом большом измерении не исключается нашим прямым ненаблюдением за ним (ср. Флатландия, где 3D-объект входит в 2D-мир), а тем, что нам пришлось бы наблюдать скалярных (относительно нашей 4D-группы Лоренца) партнеров всех частиц). Тем не менее, теории с компактными дополнительными измерениями могут объяснить нарушение суперсимметрии (если существует SUSY), тот факт, что у нас есть 3 поколения материи и почему поколения имеют такие разные массы, или причину слабости гравитации. Одним из ключевых предсказаний компактных измерений этра является «башня возбуждений» частиц с расщеплением массы, которое зависит от размера дополнительного измерения. ТВО в дополнительных измерениях предсказывают довольно «небольшое» время жизни Протона, поэтому их можно решить с помощью Hyper-Kamiokande .
2. Существование этих дополнительных измерений можно было бы «доказать», если бы теория дополнительных измерений могла объяснить несоответствия в Стандартной модели физики элементарных частиц и/или Стандартной модели космологии. С другой стороны, нужно было вывести из теории четкое предсказание, которое можно было бы экспериментально опровергнуть. Доказать теорию (или ее особенность) сложно, особенно если эта особенность настолько общая, как дополнительное измерение.
3. На самом деле нет необходимости или сильного намека на дополнительные измерения. Одной из приятных причин может быть то, что можно иметь Теорию Великого Объединения , в которой нарушение симметрии в высоком масштабе происходит из-за того, что дополнительное измерение компактно, а не из-за спонтанного нарушения симметрии, когда скалярное поле развивает вакуумное математическое ожидание. Самопроизвольное торможение в двух разных масштабах (шкала ТВО и электрослабая шкала) тогда вызовет много вопросов относительно соотношения этих двух масштабов, и теория потенциально станет нестабильной. Больше причин для рассмотрения дополнительных измерений уже упоминалось в 1.

В абстрактном смысле «измерение» — это всего лишь компонент вектора состояния. Например, можно говорить о 10-мерном фазовом пространстве, состоящем из 3 компонентов для положения, 3 для линейного количества движения, 3 для углового момента и 1 для энергии. Или у кого-то может быть вектор «события», который включает дополнительное измерение, представляющее время.

Есть веские основания полагать, что не существует 4-го пространственного измерения, полностью аналогичного 3-м пространственным измерениям, с которыми мы знакомы: если бы существовал какой-то способ двигаться перпендикулярно пространству, то это происходило бы все время в результате взаимодействия с любым объектом, который уже двигался в этом направлении. Например, предположим, что система из четырех тел (гравитационная или электромагнитная) никогда не останется в плоскости после ее нарушения, потому что это неустойчивое равновесие. Возможно, такое 4-е измерение существует, но оно должно иметь либо другую топологию, либо должна существовать какая-то восстанавливающая сила, удерживающая нас в рамках нашего гиперплана. Последний случай иллюстрируется бильярдным столом — есть третье измерение, перпендикулярное столу, но шары приклеены к столу из-за гравитации, а противодействующая сила обеспечивается самим столом. Естьотличная книга под названием «Флатландия», которую вы можете скачать бесплатно , в которой эти вопросы рассматриваются интуитивно понятным и доступным способом.

Короткий ответ: пока нет доказательств (то есть экспериментальных данных).

Основная причина рассмотрения теорий с дополнительными измерениями заключается в том, что (многие) теории, сложные в 4D, могут быть переформулированы в более простых терминах как теории с дополнительными измерениями, которые свернуты в крошечные круги (или, в более общем смысле, крошечные многообразия ), так что мы не воспринимайте их как другие «большие» измерения (называемые «некомпактными»). Под «простым» понимается то, что, например, теория только с одним (векторным или тензорным) полем (мыслим частицей) в высших измерениях проявляется как несколько полей разного рода в низших измерениях, а их сложные взаимодействия описываются геометрически. по форме компактификационного многообразия . В физике любят геометризацию, так как можно утверждать, что она более интуитивна.

При попытке сформулировать теорию, точно описывающую взаимодействие частиц, приходится сталкиваться со многими возможностями, и те, которые можно сформулировать с дополнительными измерениями, несколько проще. Так что это часто используется в качестве руководящего принципа для формулирования правильной теории — теории, которой не противоречат эксперименты. Есть несколько примеров, удовлетворяющих этим требованиям. Но может оказаться, что ни одна из этих теорий (с дополнительными измерениями) не выживет, когда будет собрано больше экспериментальных данных и сопоставлено с предсказаниями этих теорий.

3+1 описывает только пустую «сцену», на которой что-то происходит.
Пустой сцены недостаточно для описания мира.
В качестве ответа кажется достаточно двух вышеприведенных строк, но я скажу еще немного.
Кажется столь же трудным доказать, как и опровергнуть ваш радикальный подход. Если бы кто-то мог доказать, что 3 + 1 достаточно, этого вопроса здесь не было. Я думаю, вы полагаете , что 3+1 — это все. Предполагать нехорошо.
Цель физики состоит в том, чтобы исследовать лучшее представление о мире, и иногда необходимо немного «усложнить», чтобы увидеть яснее. Теория Калуцы-Клейна имеет еще одно измерение: заряд. Это следует рассматривать как свойство, присущее «актерам» (в конечном счете, полю), и для меня такое представление имеет смысл.
Насколько мы уверены, что 3+1+1 недостаточно? Я думаю, что на этом пути есть еще что исследовать, прежде чем я смогу подумать о переходе в более высокие измерения, но это не более чем личное ощущение.
В качестве примера: Электромагнетизм происходит в мире 3+1 (и достаточно набора «реальных» чисел: реальных амплитуд, реальных частот, реальных фаз и т. д.), но математическое представление гораздо удобнее, когда мы используем «сложные» ' числа вместо 'реалов'.
Я не говорю в защиту какой-либо «странной» теории, но кажется неразумным так радикально упрощать и говорить, что 3+1 достаточно.

аналогичный метафизический вопрос возник у скептиков.

С точки зрения физиков теории могут быть опровергнуты только экспериментально . Как указано в ссылке, атомные лазеры могут напрямую измерять свойства пространства. В настоящее время можно лишь косвенно доказать, что представление о пространстве-времени как о реальной физической сущности/объекте соответствует данным измерений (например, предсказанным АРТ гравитационным волнам от доппельпульсаров). Но вы не можете измерить пространство, как с помощью атомно-силового микроскопа, чтобы «потрогать» атомы.

В настоящее время остается метафизическим вопросом, считаете ли вы пространство просто описывающим математическим понятием или объектом реального мира. Протофизики утверждают, что геометрия — это просто математический набор. инструменты для описания вселенной, пространство-время не является объектом.

Хороший вопрос может заключаться в том, можете ли вы последовательно описать четырехмерное пространство-время с более многомерным пространством-временем, есть ли какая-то математическая избыточность? Или это математика. Концепция размерности настолько уникальна, что она навязывает очень специфические свойства физики, которую мы пытаемся смоделировать в ней. Это своего рода принцип бритвы Оккама. Физическое объяснение должно быть максимально простым. В настоящее время эти многомерные теории всего (TOE) нуждаются в этих дополнительных измерениях для моделирования физики, которую они пытаются описать, но они также выдают много нефальсифицируемых решений, тем больше, чем больше измерений они используют, на самом деле. Так что это граница между лабораторной физикой, метафизикой/философией. Вы не можете действительно логически рассуждать здесь без специальных гипотез и субъективных предположений.

1. Из-за надежды на квантование гравитации и объединение ее с другими силами. Первой попыткой объединить силы с небольшими дополнительными измерениями была теория Калуцы-Клейна , которая добавила одно измерение, чтобы объединить гравитацию с электромагнетизмом. Теория струн также может включать сильные и слабые ядерные взаимодействия.
2. Пока нет ничего эмпирического, но есть множество предложений о том, как мы могли бы это получить, в зависимости от размера этих измерений. У них есть приятное теоретическое преимущество: они складываются в многообразие, а форма и размер дырок в этом многообразии соответственно определяют законы физики и константы в них, так что в принципе теория струн может объяснить всю физику всего за несколько секунд. с точки зрения формы, которую принимают эти измерения (которую теоретики обычно считают многообразием Калаби-Яу ). К сожалению, мы далеки от понимания его формы.
3. Эту страницу можно резюмировать так: «Простых объяснений нет, но я сделаю несколько попыток полулегких». Ранние теории струн рассматривали только бозоны и требовали$26$Габаритные размеры; более поздние теории струн являются суперсимметричными, чтобы включать фермионы, и требуют$10$. Вышеупомянутая ссылка концентрируется на причинах$26$в первом случае особенный; небольшие вариации одних и тех же аргументов объясняют$10$во втором случае.

Ваша аргументация хороша.

Язык очень запутанная вещь. Вот почему -> Есть много разных аспектов того, что вы называете Измерением как в физике, так и в математике.

В математике размерность определяется как часть метода координат Декарта.

С другой стороны, в физике измерение определяется как способность ПУТЕШЕСТВОВАТЬ. Итак, в моей комнате я могу идти туда и обратно, но во времени я могу идти только вперед, следовательно, строго говоря, время ТАКЖЕ не является физическим измерением. Но! В математике, поскольку время можно использовать в качестве параметра, оно легко может стать измерением.

Так. В теоретической физике мы находимся в 3+1 измерениях, в математике может быть что угодно, а в реальной жизни только 3.

Открытие нового измерения - очень сложная вещь - сначала вам нужна ХОРОШАЯ теория, которая позволит вам построить эксперимент, который покажет, что что-то МОЖЕТ путешествовать в 4-м или 5-м измерении.