Как представить себе более высокие измерения?

Используемое здесь определение измерения — это определение измерения многообразия — по существу, сколько координат (= действительных чисел) нам нужно для описания многообразия (рассматриваемого как пространство-время).

Многообразия могут иметь понятие длины и объема . Они также могут быть компактными или некомпактными , примерно ¹ соответствует конечному и бесконечному . Например, сфера радиуса$R$компактен и двумерен - каждая точка на нем может быть описана двумя углами, а его объем конечен как$\frac{4}{3}\pi r^2$. Обычное евклидово пространство$\mathbb{R}^3$некомпактна и трехмерна — каждая точка в ней описывается тремя вещественными числами (направленное расстояние от произвольно выбранного начала координат), и ей нельзя сопоставить конечный объем.

Обратите внимание, что на сфере вы можете продолжать увеличивать любую из координат, и рано или поздно вы вернетесь к точке, с которой начали. Все размеры здесь «маленькие»/компактные. В евклидовом пространстве вы никогда не вернетесь к началу, как бы далеко вы ни зашли. Все размеры "большие"/некомпактные.

Бесконечно длинный цилиндр теперь является примером того, где два измерения различны. Возьмем в качестве координат очевидные две - длину (насколько вы находитесь "внизу"/"вверху" на цилиндре) и угол (где вы находитесь на окружности такой длины). Измерение длины не компактно - вы никогда не вернетесь к исходной точке, если будете просто увеличивать эту координату. Координата угла компактна - вы возвращаетесь после$2\pi$до вашей начальной точки, а «размер» измерения — это радиус круга. Это пример «свернутого измерения». Если вы намного больше, чем радиус, вы можете даже не заметить, что находитесь на цилиндре, и вместо этого подумаете, что находитесь на одномерной линии!

^{1 Математическое определение охватывает свойства, которые не так легко перевести в интуицию.}

В дифференциальной геометрии пространство заданного числа измерений может быть искривленным, а не евклидовым , поэтому, например, поверхность сферы понимается как двумерное пространство, несмотря на то, что мы не можем не визуализировать сфера, находящаяся в многомерном трехмерном евклидовом пространстве. Это трехмерное пространство, в котором мы представляем себе двумерную поверхность, технически известно как «пространство вложения», но математика дифференциальной геометрии позволяет математикам и физикам описывать кривизну поверхностей в чисто «внутренних» терминах без необходимости в каком-либо пространстве вложения . , а не во «внешних» терминах, где поверхность описывается своими координатами в многомерном пространстве — см.Раздел «Внутренние и внешние» на вики-странице дифференциальной геометрии . И все это имеет практическое значение для физиков, поскольку общая теория относительности Эйнштейна использует дифференциальную геометрию для объяснения гравитации с точки зрения материи и энергии, вызывающих искривление пространства-времени (см. здесь краткое концептуальное введение в то, как кривизна пространства-времени может объяснить, как частицы траектории зависят от гравитации).

Имея в виду эти идеи, если вы хотите понять комментарий Грина о том, что высшие измерения «свернуты», представьте себе поверхность длинного цилиндра или трубки, похожей на садовый шланг. Эта поверхность является двухмерной, но вам нужно пройти небольшое расстояние в одном направлении, чтобы сделать круг и вернуться к исходному месту — это «свернутое» измерение — в то время как перпендикулярное направление может быть сколь угодно длинным, возможно бесконечно. Вы можете представить двухмерных существ, живущих на этой поверхности, как в знаменитой книге « Флатландия» , которая познакомила многих людей с идеей пространств с разным числом измерений (а также есть «продолжение» другого автора под названием « Страна сфер» ).который вводит идею о том, что двумерная вселенная может быть искривлена). Но если бы окружность цилиндра была очень короткой — даже меньше, чем радиус атомов в этой вселенной, — тогда в больших масштабах эта вселенная могла бы быть неотличима от одномерной вселенной (подобной «Лайнландии», которую персонажи «Флатландии » наведаться в гости). Таким образом, аналогичная идея выдвигается в теории струн для объяснения того факта, что мы воспринимаем наше пространство только как трехмерное, хотя математика теории струн требует большего количества пространственных измерений — дополнительные измерения «свернуты» в маленькие формы, известные как Многообразия Калаби-Яу, которые играют роль, аналогичную круговым сечениям двумерного цилиндра или трубы, которые я описал (хотя в теории бран, расширении теории струн, возможно, что одно или несколько дополнительных измерений могут быть «большими» и нескрученными, но частицы и силы, за исключением гравитации, вынуждены двигаться в трехмерной «бране», находящейся в этом многомерном пространстве, которое называется «массой»).

Относительно легко представить себе 4-е измерение. Было бы время. Но время как если бы у нас была машина времени, с помощью которой мы могли бы произвольно перемещаться по ней. Высшие измерения были бы более сложными, но возможными, как бы "судьбы". Например, представьте, что в «судьбе 1» вы видите, как машина едет из А в Б в определенный час, а в «Альтернативной судьбе 2» вы видите, что та же машина едет из Б в А. И так далее. А теперь представьте эти судьбы, как если бы они были книгами в ряд на полке 1,2...,n. Теперь представьте количество полок (1...n) x (1...n) с судьбами. Или количество полок в количестве строк в библиотеке судеб в трехмерной таблице (1,2...n) x (1,2...n) x (1,2...n). Или трехмерная библиотека судеб, которые меняются во времени. Теперь, если вы можете представить все это, вы только что представили 4 x 4 = 16 измерений.