Как именно выполняются компактификации Калаби-Яу?

То, что вы записали, является отношением группы двумерных переводов к дискретной подгруппе. Но далеко не всякое замкнутое многообразие возникает таким образом как фактор групп.

Следует иметь в виду, что термин «компактификация» в физике используется не столько для обозначения того, что в математике называется компактификацией некомпактных пространств. Например, одноточечная компактификация в математическом смысле превращает реальную прямую в окружность. (Однако это также превращает плоскость в 2-сферу, а не в тор.)

Вместо этого под «компактизацией» в физике подразумевается то, что вы просто выбираете замкнутое (и, следовательно, компактное) многообразие .$Q$, затем выберите пространство-время$X$быть$Q$-пучок волокон над базовым пространством пространства (часто предполагается, что это просто произведение$X = Q \times Y$), а затем описать механизм Калуцы-Клейна перехода от физики к$X = Q \times Y$к эффективной физике всего лишь$Y$.

В частности, для «компактификации» Калаби-Яу вы просто выбираете $Q$быть многообразием Калаби-Яу, а затем рассмотреть механизм Калуцы-Клейна в пространстве-времени, которые$Q$- пучки волокон. На самом деле вы не получаете эти пространства-времени как компактификации некомпактных пространств-времен в математическом смысле.

(Ну, можно рассмотреть эту проблему, но это не то, что обычно подразумевается под «компактификацией» в физике.)