Спинорные повторения в пространстве-времени R1,3×BR1,3×B\mathbb{R}^{1,3}\times{}B

В 3+1 измерениях спиноры не трансформируются при представлениях$O(1,3)$, но по представлениям накрывающей группы$\operatorname{Spin}(1,3)$, который имеет ту же алгебру Ли. Структурная группа полуриманова многообразия определяется метрической сигнатурой. Таким образом, если метрика такова, что$B$пространственноподобна, спиноры трансформировались бы при$\operatorname{Spin}(1,3+D)$.

(Чтобы определить, что я имею в виду под структурной группой: всегда можно локально найти набор векторных полей, такой, что метрика является диагональной. Это связано с тем, что относительно локального базиса векторных полей метрика в каждой точке в пространство-время является симметричной матрицей. Структурная группа — это группа линейных преобразований, которая сохраняет эту форму метрики. Действительно, группа Лоренца часто определяется как группа, которая сохраняет$\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$. По закону инерции Сильвестра структурная группа хорошо определена.)

Разгон по компактным направлениям допускается, так как локально пространство имеет вид$\mathbb{R}^{1,3+D}$(для космоподобного$B$). Возможно, метрику можно представить в виде

$$ds^2 = ds_0^2 + dB^2$$ где $ds_0^2$отличен от нуля только для векторов, касающихся $\mathbb{R}^{1,3}$и $dB^2$отличен от нуля только для векторов, касающихся $B$. Затем $O(1,3) \times O(D)$это группа, которая сохраняет эту форму, но группа полной структуры больше, так как мы можем, например, смешивать координаты на $\mathbb{R}^{1,3}$и дальше $B$.

Компактность, а точнее топология$B$, может войти только в том, что существует топологическое препятствие для последовательного определения спиноров на многообразии. Это условие является глобальным, поэтому если пространство$B$недостаточно хорош,$R^{1,3} \times B$может даже не иметь спиноров. Техническая формулировка условия состоит в том, что второй класс Штифеля-Уитни должен исчезнуть.