Как группа Лоренца действует на 4-вектор в формализме спинорной спиральности pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Question

Как группа Лоренца действует на 4-вектор в формализме спинорной спиральности pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Физика
спиноры
векторы
алгебра лжи
Лоренц-симметрия
групповые представления

ГЛС

Учитывая 4-вектор $p^\mu$ группа Лоренца действует на него в векторном представлении:

\begin{matrix} (1) & п^{мю} ⟶ ({Дж}_{В} [Λ])_{ν}^{мю} п^{ν} \equiv Λ_{ν}^{мю} п^{ν} . \end{matrix}

$\tag{1} p^\mu \longrightarrow (J_V[\Lambda])^\mu_{\,\,\nu} p^\nu\equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu} p^\nu.$ Однако я всегда могу представить 4-вектор

p^{μ}

$p^\mu$ используя левые и правые спинорные индексы, записывая

\begin{matrix} (2) & п_{α \dot{α}} \equiv о_{α \dot{α}}^{мю} п_{мю} . \end{matrix}

$\tag{2} p_{\alpha \dot{\alpha}} \equiv \sigma^\mu_{\alpha \dot{\alpha}} p_\mu.$ Итак, вопрос: в каком представлении действует группа Лоренца? $p_{\alpha \dot{\alpha}}$ ?

Есть много вопросов по этому и смежным темам вокруг Physics.se, с множеством отличных ответов, поэтому позвольте мне уточнить, о чем я прошу.

Я уже знаю, что ответ на этот вопрос состоит в том, что закон преобразования

\begin{matrix} (3) & п_{α \dot{α}} \to (А п А^{†})_{α \dot{α}} \end{matrix}

$\tag{3} p_{\alpha \dot{\alpha}} \rightarrow (A p A^\dagger)_{\alpha\dot{\alpha}}$ с

A \in S L (2, C)

$A \in SL(2,\mathbb{C})$ (как упоминается, например, в этом ответе Эндрю МакАддамса ). Я также понимаю, что

\begin{matrix} (4) & с о (1, 3) ≅ с л (2, С), \end{matrix}

$\tag{4} \mathfrak{so}(1,3) \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}),$ (что объясняется, например , здесь Эдвардом Хьюзом, здесь joshphysics, здесь Qmechanic).

Так чего не хватает? Не так уж и много. Две вещи:

Как мне получить (3) и какова конкретная форма $A$ , т. е. его связь с векторным представлением $\Lambda^\mu_{\,\,\nu}$ ? Определение следующего
$(\tilde{п}) \equiv п^{мю}, Λ \equiv Λ_{ν}^{мю},$ $(\tilde p) \equiv p^\mu, \qquad \Lambda \equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu},$ $о \equiv о_{α \dot{α}}, \hat{п} \equiv п_{α \dot{α}},$ $\sigma \equiv \sigma_{\alpha \dot \alpha}, \qquad \hat p \equiv p_{\alpha \dot \alpha},$ мы можем переписать (1) и (2) в матричной форме как $\begin{matrix} (5) & \hat{п} \equiv о \tilde{п} \to о Λ \tilde{п} "=" (о Λ о^{- 1}) \hat{п}, \end{matrix}$ $\tag{5} \hat p \equiv \sigma \tilde p \rightarrow \sigma \Lambda \tilde p = ( \sigma \Lambda \sigma^{-1}) \hat p,$ однако это противоречит (3) , которое, как я знаю, верно , так что же не так с моими рассуждениями?
Почему закон преобразования (3) имеет вид
$\begin{matrix} (6) & А \to U^{- 1} А U, \end{matrix}$ $\tag{6} A \rightarrow U^{-1} A U,$ а обычное векторное преобразование (1) имеет вид $V \rightarrow \Lambda V$ ? Я подозреваю, что это происходит по той же причине, что и описанная здесь Прахаром, но я был бы признателен за подтверждение этого.

Ответы (1)

Как группа Лоренца действует на 4-вектор в формализме спинорной спиральности pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Робин Экман · Answer 1

Ваше уравнение (3) получается из следующих шагов. Во-первых, точечный индекс преобразуется в комплексно-сопряженное представление индекса без точек. Для тензорного произведения каждый индекс преобразуется в соответствии со своим собственным представлением. Таким образом

п_{а \dot{а}} \mapsto А_{а б} {\bar{А}}_{\dot{а} \dot{б}} п_{б \dot{б}} "=" А_{а б} п_{б \dot{б}} А_{\dot{б} \dot{а}}^{†}

$p_{a\dot a} \mapsto A_{ab} \bar A_{\dot a \dot b} p_{b\dot b} = A_{ab} p_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a}$ где слева от знака равенства стоит поэлементное комплексное сопряжение. Поместив сопряженную матрицу справа, мы должны выполнить транспонирование, чтобы получить правильный порядок индексов.

Рассуждая о (4) и (5), вы пренебрегаете преобразованием $\sigma^\mu_{a\dot a}$ . Правильное описание отношения $p_{a\dot a} = \sigma^\mu_{a\dot a} p_\mu$ заключается в том, что 4-векторное представление эквивалентно $(\frac 1 2,0)\otimes(0,\frac 1 2)$ представление с помощью линейного преобразования

о_{а \dot{а}}^{мю} : В \to (\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2})

$\sigma^\mu_{a \dot a} : V\to (\frac12,0)\otimes(0,\frac12)$ означающий, что

σ_{a \dot{a}}^{μ}

$\sigma^\mu_{a\dot a}$ принадлежит пространству

(\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2}) \otimes V^{*}

$(\frac 1 2,0)\otimes (0,\frac12) \otimes V^*$ , на котором действует (двойное накрытие) группы Лоренца. На самом деле действует как

о_{а \dot{а}}^{мю} \mapsto А_{а \dot{б}} о_{б \dot{б}}^{ν} А_{\dot{б} \dot{а}}^{†} (Λ^{- 1})_{ν}^{мю}

$\sigma^\mu_{a\dot a} \mapsto A_{a\dot b} \sigma^\nu_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a} (\Lambda^{-1})_\nu^\mu$ так что

A_{a \dot{a}}^{μ} p_{μ}

$A^\mu_{a \dot a} p_\mu$ действительно имеет правильный закон преобразования.

Спасибо большое, с этим точно разобрались. Только одно: не могли бы вы также предоставить какую-нибудь ссылку, где я могу найти больше по этому вопросу (в частности, где я могу найти изложение правил преобразования $\sigma^\mu_{\,\,\alpha\dot \alpha}$ что вы процитировали)?
Что $\sigma^\mu_{a \dot a}$ преобразования таким образом действительно неявны в индексах, которые у него есть, поэтому я не знаю, записано ли это где-нибудь. Я думаю, что Пенроуз и Риндлер, но я не проверял.

Как группа Лоренца действует на 4-вектор в формализме спинорной спиральности pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

ГЛС

Ответы (1)

Робин Экман

ГЛС

Робин Экман

(A,B)(A,B)(A,B)-представление группы Лоренца: коэффициентные функции полей

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?

Векторное и спинорное представление в теории суперструн Рамона-Неве-Шварца

Алгебра Лоренца и ее образующие

Спинорное представление и преобразование Лоренца в Пескине и Шредере

Как показать инвариантность некоторого значения с помощью представлений теории групп?

Зачем усложнять, чтобы построить представление Дирака?

Как получить форму инвариантного спинорного внутреннего продукта?

Доказательство того, что (1/2,1/2)(1/2,1/2)(1/2,1/2) представление группы Лоренца является 4-векторным

Как вывести закон преобразования спинора Вейля при преобразовании Лоренца?