Задача орбитальной механики

Что на самом деле означает для двух тел «вращаться вокруг своего центра масс». Означает ли это, что два тела движутся по эллипсам, а центр масс является фокусом каждого эллипса?

Его также называют барицентром . Любые два (или более) объекта на орбите друг вокруг друга вращаются вокруг барицентра. При работе с двумя объектами центр масс является барицентром. Я думаю, вы путаете центр масс каждого объекта с центром масс системы.

Предположим, нам даны две массы с неколлинеарными векторами начальной скорости. Если предположить, что единственной значимой силой является гравитационное притяжение между двумя массами, следует ли из этого, что тела вращаются вокруг своего центра масс? Другими словами, при каких условиях два тела вращаются вокруг своего центра масс?

Объект 2 всегда должен вращаться вокруг своего центра масс системы.

Что касается решения вопроса, то оказывается, что предоставленной информации недостаточно для определения периода.

Добавлено (исправлено):
период можно найти из :$T=2\pi \sqrt {\frac{r^3}{G(M_1+M_2)}}$
Массы M и 3M, а радиусы орбит равны$\frac{1}{4}d + \frac{3}{4}d$.
Подстановка значений дает:
$T=2\pi \sqrt {\frac{d^3}{4GM}}$
$T=\pi \sqrt {\frac{d^3}{GM}}$
Который А. _

Я нашел ответ на свой вопрос, и я прояснил путаницу.

Сначала вспомним:

1.Два тела, движущиеся в пространстве только под действием гравитационного притяжения между ними, движутся по эллипсам, с центром масс системы в фокусах каждого эллипса. Это очень нетривиальное утверждение, но я не буду его здесь доказывать.

2. Два тела, вращающиеся вокруг своего центра масс, всегда коллинеарны центру масс. Отсюда следует, что сила гравитационного притяжения, действующая на каждое тело, является центральной силой (т.е. направлена ​​к центру масс).

В постановке задачи сказано: «Два тела разделены расстоянием$d$". Формулировка немного двусмысленная, но я полагаю, что имеется в виду следующее: "два тела разделены фиксированным расстоянием".$d$по своим орбитам».

Таким образом, мы можем предположить, что два тела движутся по концентрическим окружностям с центром в центре масс системы.

Заманчиво применить здесь третий закон Кеплера к орбите тела с массой$3M$(как это сделал LDC3). Однако вывод третьего закона Кеплера предполагает, что масса, создающая центростремительную силу для вращающегося тела, находится на том же расстоянии от вращающегося тела, что и масса, создающая гравитационную силу. Другими словами, центральная сила, действующая на каждое тело, исходит не из центра масс системы.

Правильный способ продолжить - отметить гравитационную силу, действующую на массу.$3M$является$\frac{G(M)(3M)}{d^2}$но центростремительная сила$\frac{(3M)v^2}{r}$где$r$это расстояние до центра масс, которое можно определить как$d/4$. С использованием$v=\frac{2\pi r}{T}$с$T$период, мы можем приравнять центростремительную силу к силе тяжести и прийти к$T=\pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}}$. На самом деле это выбор ответа :).

По сути, мы обобщили третий закон Кеплера (для круговых орбит) на случай, когда тела вращаются вокруг своего центра масс. Третий закон Кеплера предполагает, что тело, вокруг которого мы вращаемся, неподвижно в пространстве.

Теперь я понимаю, что проблема гораздо более тонкая, чем я думал раньше.