Загадочные спектры?

В моем блоге Почему риманний? , я представил следующую идею. Бесконечная потенциальная яма в квантовой механике, гармонический осциллятор и кеплеровская (водородоподобная) задача имеют соответственно энергетические спектры, равные

1)

Е ∼ н 2
2)
Е ∼ н
3)
Е ∼ 1 н 2

Знаете ли вы квантовые системы с общими спектрами/собственными значениями, заданными

Е ( н ; с ) ∼ н − с

и расщепление энергии

Δ Е ( н , м ; с ) ∼ ( 1 н с − 1 м с )

для всех с ≠ − 2 , − 1 , 2 ?

Ответы (1)

Здесь мы не будем рассматривать полную квантово-механическую проблему, а только обсудим полуклассический предел н ≫ 1 , т.е. только высоковозбужденная часть энергетического спектра, далекая от энергии основного состояния.

Если мы находимся в одном измерении со степенным потенциалом

Φ ( Икс )   ∼   | Икс | п , п > − 2 ,

для | Икс | достаточно большой, то мы можем использовать полуклассический метод этого ответа Phys.SE для оценки классически доступной длины как

ℓ ( В )   ∼   В 1 п ,

где В есть доступная потенциальная энергия. Количество штатов Н ( Е ) ниже энергетического уровня Е затем идет как

Н ( Е )   ∼   Е 1 п + 1 2 ,

и поэтому полуклассические дискретные энергии также подчиняются степенному закону

Е н   ∼   н 2 п п + 2 для н   ≫   1.

Ценности п "=" − 1 , п "=" 2 , и п "=" ∞ соответствуют (радиальному) атому водорода, гармоническому осциллятору и бесконечной потенциальной яме соответственно.

Для полноты: если мощность п < − 2 , тогда будет только конечное число связанных состояний, поэтому наш полуклассический анализ в этом случае не работает.
Это круто! И мне интересно, какое полностью квантовое (не полуклассическое) «поле/система/потенциал» могло их произвести. Ваш ответ очень помогает Qmechanic. Меня также очень интересуют физические и реальные/фактические системы с таким асимптотическим спектром... Это довольно интересно по многим причинам для моих текущих "мыслей"...
И еще один вопрос, а если у вас сложное "п"? Можно ли решить одномерное уравнение Шредингера для этого потенциала? ( Т + В ) Ψ "=" Е Ψ ? Здесь T — обычный (свободный) оператор кинетической энергии в КМ и В ∼ | Φ | п с п е С
В стандартной КМ гамильтониан ЧАС должен быть эрмитовым оператором, и, следовательно, потенциал Φ (и поэтому п ) должно быть реальным. Вы можете попытаться изучить PT-симметричный QM.
Я знаю это... ;) Но мне интересно, если некоторые люди, работающие над неэрмитовым КМ (или, может быть, над каким-то вариантом КМ CT/PT), решили что-то подобное этой проблеме.
p=1 используется как модель кваркония. См. arxiv.org/abs/hep-ph/0608103 .
О, я этого не знал! Отлично! Кто-нибудь другой? Меня также интересует спектр космических лучей ... Как количество обнаруженных космических лучей зависит от энергии?
Загадочные спектры?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v