У меня очень простой вопрос по поводу численных методов в физике.
Я хочу решить проблему собственных значений для частицы, движущейся в произвольном потенциале. Давайте возьмем 1D, чтобы быть конкретным. то есть я хочу найти удовлетворяющий
Теперь, как мне это сделать? Наивно я бы реализовал следующий алгоритм:
1) Выберите несколько .
2) я хочу найти который нормализуется. Так что я мог выбрать большой , набор и и численно интегрировать оттуда, используя уравнение Шредингера.
3) Если я встречаю решение, которое экспоненциально мало далеко справа от начала координат, то я говорю, что решение нормализуемо (поскольку оно затухает при ), и я принимаю пару .
4) я увеличиваю и я повторяю процесс.
При этом я должен получить спектр вокруг моего начального значения .
Этот алгоритм вообще работает?? Мне также кажется, что это очень неконтролируемый способ сделать это; Я понятия не имею, насколько точным будет спектр. Например, изменился бы Сделать разницу?
Дело в том, что я знаю из теории Штурма-Лиувилля, что спектр будет дискретным (учитывая удовлетворяющие некоторым хорошим свойствам). Таким образом, спектр будет набором меры 0 среди всей реальной линии, которая Это означает, что я почти наверняка (т.е. с вероятностью 1) никогда не получу решение, которое можно нормализовать, и любое решение, которое я пытаюсь численно интегрировать из моей начальной точки, всегда будет взорваться, проинтегрировав достаточно далеко, чтобы право.
Итак, какой алгоритм люди используют для численного получения спектра и собственных значений? Как я также могу контролировать точность генерируемого спектра?
То, что вы предлагаете, будет работать, это, по сути, то, что известно как метод стрельбы для решения проблемы собственных значений. Обратите внимание, что собственная функция определена с точностью до мультипликативной константы, поэтому вы можете просто установить =1 и есть только один параметр варьироваться, чтобы получить правильно затухающее решение на бесконечности. Метод стрельбы легко программируется, но его возможности очень ограничены.
Гораздо более мощный подход к решению такого рода проблем заключается в дискретизации всех функций и операторов на пространственной сетке { , ...}. Тогда проблема сводится к проблеме собственных значений линейной алгебры, для которой существует множество надежных стандартных процедур.
Существует множество методов определения спектра гамильтоновой системы в одном или нескольких измерениях. Для систем с небольшим числом степеней свободы можно использовать прямой матричный подход, часто используя какой-либо вариант представления гамильтониана с дискретными переменными Sinc .
В зависимости от размера матрицы Sinc-DVR либо прямой процедуры диагонализации (для малых матриц при ), или итеративное пространство Крылова, или методы Ланцоша (для очень больших матриц) могут быть использованы для определения соответствующих частей собственного спектра.
В зависимости от степени, в которой квантово-классическое соответствие имеет место в соответствующей части фазового пространства, соответствующее изменение базиса в методе DVR может быть использовано для достижения значительной экономии вычислительных ресурсов за счет использования только базисных состояний, которые, вероятно, будут играть роль в фазовом пространстве. собственные состояния гамильтониана . Это происходит за счет использования приближенного соответствия между областью классического фазового пространства, занятой состоянием с энергией и область пространства решетки фон Неймана, которую занимает квантовое состояние, как показано в следующем видео:
http://www.youtube.com/watch?v=zg-uDK5Iekk
Как уже упоминалось, ваш метод можно заставить работать, хотя я не уверен, что он особенно часто используется для этих типов вычислений, поскольку существуют более эффективные альтернативы, такие как приведенные выше.