Правильно ли я говорю, что лестничные операторы имеют комплексные собственные значения?

С$L_+$и$L_-$не являются эрмитовыми, вполне разумно предположить, что они могут иметь комплексные собственные значения.

Однако для этих конкретных операторов это не так. Вы можете проверить это явно, взяв известное соотношение

$$L_+|l,m\rangle = \sqrt{l(l+1)-m(m+1)}|l,m+1\rangle,$$ выражая его как явную матрицу и взяв собственные значения. Структура матрицы имеет вид $$L_+ = \begin{pmatrix} 0 & & \\ \sqrt{2l} & 0 & \\ & \sqrt{4l-2} & 0\\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & &\sqrt{4l-2} & 0 \\ & & & &\sqrt{2l} & 0\\ \end{pmatrix}$$ где все пустые элементы равны нулю, а это означает, что характеристический многочлен можно довольно просто вычислить, используя методы сокращения строк, до голого выражения $$\begin{align} \det(L_+-\lambda) & = \det\begin{pmatrix} -\lambda & & \\ \sqrt{2l} & -\lambda & \\ & \sqrt{4l-2} & -\lambda\\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & &\sqrt{4l-2} & -\lambda \\ & & & &\sqrt{2l} & -\lambda\\ \end{pmatrix} \\ & = (-1)^{2l+1}\lambda^{2l+1}. \end{align}$$ Другими словами: единственное собственное значение$L_+$равен нулю , с кратностью$2l+1$.

Что касается собственных векторов этого собственного значения, то есть только один:

$$L_+|l,l\rangle = 0. \tag{$*$}$$ Остальная часть матрицы представляет собой один большой жордановый блок , для которого доказуемо не больше собственных векторов, чем в базовом случае в$(*)$выше. Фактически,$L_z$почти уже находится в форме Jordan-Block в$|l,m\rangle$основе, и все, что вам нужно сделать, это взять ненормализованное по единице число, кратное$|l,m\rangle$основание для привлечения$L_z$в явной жорданово-блочной форме, $$L_+ = \begin{pmatrix} 0 & & & & & \\ 1 & 0 & \\ & 1 & 0\\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & 1 & 0 \\ & & & & 1 & 0\\ \end{pmatrix} .$$

Собственные значения$0$. Самый простой способ убедиться в этом — представить, что вы работаете в конечномерном пространстве размером$2\ell+1$. Тогда для любого состояния$\vert \ell m\rangle$у вас есть$L_+^k\vert\psi\rangle=0$для$k\ge 2\ell+1$с

$$L_+^{2\ell+1}\vert \ell,-\ell\rangle=0\, ,\qquad L_+^{2\ell+1}\vert \ell, -\ell+1\rangle=0\, \ldots$$ т.е. вы можете поднять состояние максимум$2\ell$раз, прежде чем убить его. Теперь предположим $$\vert \psi\rangle=\sum_m c_m\vert\ell m\rangle$$ таков, что$L_+\vert\psi\rangle=\lambda\vert\psi\rangle$. Применять$L_+$снова, а затем еще раз, а затем применить его$2\ell+1$раз, чтобы найти $$L_+^{2\ell+1}\vert\psi\rangle= \lambda^{2\ell+1}\vert\psi\rangle =\sum_m c_m L_+^{2\ell+1}\vert\ell m\rangle=0$$ из чего следует сделать вывод$\lambda=0$. Тот же аргумент можно привести, чтобы показать, что собственные значения$\hat L_-$являются$0$. Учитывая, что собственные значения$0$тогда нужно найти состояния$\vert \psi\rangle$такой, что$L_+\vert\psi\rangle=0$. Единственное состояние, которое удовлетворяет этому (до нормализации)$\vert \ell,\ell\rangle$.

Это отличается от ситуации с гармоническим осциллятором, где состояния никогда не уничтожаются повышающим оператором.$\hat a^\dagger$потому что пространство содержит состояния$\vert n\rangle$для любого$n\ge 0$, т.е. пространство бесконечномерно. Кроме того, можно найти некоторые состояния, которые являются собственными состояниями$\hat a$: это знаменитые когерентные состояния , и они представляют собой сумму, содержащую все$\vert n\rangle$состояние.

Собственные векторы лестничных операторов называются « когерентными состояниями ». Цитирую статью из Википедии:

С$\hat{a}$не эрмитов,$\alpha$вообще говоря, комплексное число.

Итак, да, вы правы, говоря, что в общем случае собственные значения являются сложными (однако возможно иметь некоторые когерентные состояния с реальными собственными значениями).

Поскольку этот ответ кажется спорным...
Вот рецензируемый документ по этому вопросу для операторов лестницы углового момента:

D.Bhaumik et al 1975 J. Phys. А: Математика. Генерал 8 1868 г.