Закон Фарадея (общая форма) и изменение потока

Для вводного класса E&M, который я беру в этом году, я работал над некоторыми проблемами, связанными с общим законом Фарадея.

Я был сбит с толку тем, как мы интерпретируем поток в правой части уравнения?

Вот проблемы:

1. Магнитное поле, направленное внутрь страницы, изменяется со временем по закону$B=0.030t^2+1.40$, где B — в теслах, t — в секундах. Поле имеет круглое поперечное сечение радиусом$R=2.50$см. Когда$t=3.00$песок$r_2=0.02$м, каковы (а) величина и (б) направление электрического поля в точке$P_2$? Вот прилагаемая диаграмма ] 1

2. Длинный соленоид с$1.00\times10^3$оборотов на метр и радиус$2.00$см несет колебательный ток$I=5.00 \sin (100\pi t)$, где$i$в амперах и$t$находится в секундах. а) Чему равно электрическое поле, индуцируемое на радиусе$r=1.00$см от оси соленоида?

Мой подход:

1) точка$P_2$лежит внутри области однородного магнитного поля. Скорость изменения поля в теслах в секунду равна$\frac{dB}{dt}=0.060t$, теперь магнитный поток увеличивается в сторону страницы; следовательно, по правилу правой руки (см. рисунок) линии индуцированного электрического поля направлены против часовой стрелки. Электрическое поле в точке P2 касается линии электрического поля, проходящей через нее. Теперь я буду использовать$\oint{E.dS}=-\frac{d\phi_B}{dt}$; вот тут я в замешательстве. Книга, которую мы используем, написана$\frac{d\phi_B}{dt}=\frac{dB}{dt}*\pi R^2$, то есть они использовали весь радиус области магнитного поля, R, в расчете изменения потока через точку$P_2$внутри области, и они использовали радиус$r_2$чтобы получить длину окружности пути интегрирования для$E$срок. Однако в этом решенном экзамене [стр. 10, задача 4A] они использовали$r_2$чтобы получить как путь интегрирования, так и вычислить поток[$B*\pi r_2^2$].

Это меня смутило. Какой радиус мы обычно используем в таких ситуациях? Используем ли мы весь радиус поля для потока, а затем радиус,$r_2$, до внутренней точки$P_2$чтобы получить путь, как в методе в моей книге, или мы используем внутренний радиус, чтобы получить и площадь, и путь?

2) в примере 13.5.2 здесь и в моей книге мы использовали заданный радиус [внутри соленоида], чтобы получить путь интегрирования и рассчитать поток. То есть мы используем одно значение расстояния от соленоида. ось, чтобы получить как поток через область, ограниченную петлей, так и путь интегрирования вокруг этой упомянутой петли; мы даже не использовали радиус соленоида, чтобы получить поток через всю область поля, как в случае с моей книгой в предыдущей задаче. Эти$2$проблемы казались мне противоречивыми, и я был бы признателен за некоторую помощь, чтобы помочь прояснить эти два случая.