Закон преобразования векторных полей на RnRn\mathbb{R}^n

TL; DR - я подозреваю, что вы запутались в примере из Физики 101, например, в том, что упорядоченная пара («температура», «давление») не определяет вектор, потому что, когда мы меняем наши координаты, температура и давление не трансформируются. Однако, если мы работаем в декартовых координатах, объект (температура)$\hat x$+ (давление)$\hat y$является линейной комбинацией наших базисных векторов и, следовательно, преобразуется соответствующим образом. Это так же хорошо определено, как и вектор$\mathbf V = 3\hat x + 4\hat y$.

Другими словами, если вы запишете физически бессмысленное (но вполне определенное) векторное поле в какой-то системе координат, то оно будет изменяться обычным образом при переходе в другую систему координат.

Вот длинный ответ:

Итак, предположим, что у нас есть функция$F$от$\mathbb R^2$к$\mathbb R^2$определяется$F(x,y)=(g(x,y),h(x,y))$где$g$и$h$представляют температуру и давление соответственно (дело в том, что они оба являются скалярными полями).

Хорошо, тонкость номер один: является доменом$F$коллектор$\mathcal M =\mathbb R^2$, или образ$\mathcal M$в декартовой системе координат?

$$x :\mathcal M \rightarrow \mathbb R^2$$ $$(a,b) \mapsto (a,b)$$

Математическая интерлюдия

Несмотря на то, что это один из самых простых коллекторов,$\mathbb R^2$на самом деле ужасно с педагогической точки зрения именно потому, что так легко запутаться в этом вопросе. Коллектор _ $\mathcal M = \mathbb R^2$абстрактный; точки$p\in \mathbb R^2$состоят из упорядоченных пар действительных чисел$(a,b)$, но эти числа не являются координатами для$p$. Мы можем ввести координаты, определив карту координат в некоторой открытой окрестности$p$. Например, мы можем координировать верхнюю полуплоскость с помощью карты полярных координат:

$$\pi : \mathbb R_+^2 \rightarrow \mathbb R \times(0,\pi)$$ $$(a,b) \mapsto \left(\sqrt{a^2+b^2},\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\right)$$ где первая координата интерпретируется как радиальная координата, а вторая как угловая координата. Любая функция, определенная на уровне многообразия , например, некоторая$f:\mathcal M \rightarrow \mathbb R$- имеет соответствующее выражение в каждой координатной карте. Например, пусть$f:\mathcal M \rightarrow \mathbb R$определяться$(a,b)\mapsto a$. Если мы спустимся в полярную карту координат, мы могли бы рассмотреть функцию $$f_\pi: \mathbb R\times (0,\pi)$$ $$(r,\theta) \mapsto (f\circ \pi^{-1})(r,\theta) = f\big(r\cos(\theta),r\sin(\theta)\big) = r\cos(\theta)$$ $f_\pi$является выражением функции (уровня многообразия)$f$в$\pi$координатная карта. Переход на другую диаграмму влечет за собой отображение точек обратно на$\mathcal M$с помощью$\pi^{-1}$, затем применяя новую диаграмму координат. Например, если бы мы хотели использовать декартову диаграмму, определенную выше, у нас было бы $$f_x = f\circ x^{-1} = f\circ \pi^{-1} \circ \pi \circ x^{-1} = f_\pi \circ (\pi\circ x^{-1})$$ Карта$\pi \circ x^{-1}$называется картой перехода диаграммы между декартовой диаграммой$x$и полярная карта$\pi$; это легко увидеть $$\pi \circ x^{-1}: \mathbb R_+^2 \rightarrow \mathbb R\times(0,\pi)$$ $$(a,b) \mapsto \left(\sqrt{a^2+b^2},\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\right)$$ и так $$f_x : (r,\theta)\in \mathbb R\times(0,\pi) \mapsto r\cos(\theta)$$ как и предполагалось.

Конец интерлюдии

Суть этого несколько длинного примера в том, что когда вы говорите$F:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^2$, неясно, определяете ли вы экспресс на уровне многообразия - и в этом случае вообще не используются координаты и не учитываются преобразования - или на уровне (предположительно декартовых) координат, и в этом случае ваш$F$действительно$F_x \equiv F \circ x^{-1}$, а смена диаграммы осуществляется простой вставкой карты перехода диаграммы, например$F_\pi \equiv F_x \circ (x\circ \pi^{-1})$.

---

С точки зрения дифференциальной геометрии указанную выше функцию можно рассматривать как (координатное представление) векторного поля (т. Е. Отображение многообразия в касательное расслоение)

Хорошо. Исходя из этого, я предполагаю, что мы работаем в декартовых координатах. Вы определяете векторное поле$\mathbf V$на$\mathbb R^2$чей$x$-компонента – температура и чья$y$-компонента - давление. Это определяет небольшую производную по направлению, которая находится в каждой точке, с векторным полем

$$\mathbf V = g(x,y)\frac{\partial}{\partial x} + h(x,y) \frac{\partial}{\partial y}$$

---

Математически, так как это часть проекционной карты, она вынуждена подчиняться закону преобразования векторов, но физически интуитивно понятно, что это не векторное поле, а просто набор скаляров, поэтому реализуем мы закон преобразования векторов или нет. (при замене координат); есть ли вообще смысл говорить?

Я не знаю, что вы имеете в виду здесь. Это совершенно четко определенное векторное поле. Насколько я могу судить, оно не имеет никакого физического значения, но это не значит, что это не векторное поле.

Изменение координат вызывает изменение основы, поэтому вы спрашиваете, являются ли компоненты$\mathbf V$измениться, когда мы уходим от декартовой основы$\left\{\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right\}$например, полярная основа$\left\{\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}\right\}$, и ответ, очевидно, да - в конце концов, единичные векторы в полярных координатах обычно указывают в разных направлениях, чем декартовы единичные векторы. Если вы замените

$$\frac{\partial}{\partial x}\mapsto \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta}$$ $$\frac{\partial}{\partial y}\mapsto \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta}$$ в нашем исходном выражении для$\mathbf V$, то когда пыль осядет у вас будет что-то вроде

$$\mathbf V = V^r \frac{\partial}{\partial r} + V^\theta \frac{\partial}{\partial \theta}$$

где$V^{r}$и$V^\theta$являются некоторыми (зависящими от положения) линейными комбинациями$g$и$h$. Вот и все правило преобразования векторов: для выражения одного и того же векторного поля с использованием разных базисных векторов требуются разные компоненты, что должно быть довольно очевидно.

На самом деле это не совсем так - ваши функции$g$и$h$действительно$g_x=g\circ x^{-1}$и$h_x = h\circ x^{-1}$, поэтому при изменении диаграммы они также будут заменены на$g_\pi = g_x \circ (x\circ \pi^{-1})$и$h_\pi = h_x \circ (x\circ \pi^{-1})$.

---

В более общем случае, если у нас есть$n$-мерное гладкое многообразие$\mathcal M$(например, подумайте о римановом 4-многообразии) и функции$F$от$M$к$\mathbb R^n$, будет ли физическая природа этой функции (т.е. в зависимости от того, какую физическую величину она представляет) определять поведение ее преобразования?

Нет. Пока у вас есть четко определенная функция на многообразном уровне, она немедленно преобразуется в выражение в любой системе координат, в которой вы хотите работать. В этой идее нет ничего преобразующего — если у вас есть точка$p$который сопоставляется с каким-то другим пространством, и вы помечаете$p$по некоторым координатам, тогда вы получите функцию, которая съедает эти координаты. Если вы меняете координаты, вы меняете функцию.

В данном случае этим другим пространством было касательное расслоение, и мы выполнили соответствующее преобразование карты на нем (т. е. изменение базиса), которое было вызвано преобразованием карты на многообразии$\mathcal M=\mathbb R^2$, что добавило уровень сложности.