Закон Торричелли и переменная плотность

Я прошу не согласиться с ответом Честера Миллера.

Вы не указали причину изменения плотности. Если это установка лабораторного масштаба, изменением плотности из-за изменения давления можно пренебречь (т. е. жидкость можно считать несжимаемой). Тогда изменение плотности должно быть обусловлено каким-либо другим фактором, например, изменением солености.

Чтобы получить подходящую форму уравнения Бернулли для вашего случая, мы должны вывести его с нуля, начав с уравнения Навье-Стокса. Для несжимаемого, невязкого, стационарного потока уравнение Навье-Стокса имеет вид:

$$\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf{g}$$ в котором $\mathbf{u}$- скорость жидкости (жирный шрифт используется для обозначения векторов), $p$это давление, $\rho$- плотность жидкости, которая зависит от положения в жидкости, $\mathbf{g}$- вектор ускорения свободного падения, а " $\cdot$" - скалярное скалярное произведение.

Теперь мы можем написать$\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=\nabla(u^2/2)-\mathbf{u}\times\mathbf{\omega}$, где$u=|\mathbf{u}|$и$\omega=\nabla\times\mathbf{u}$– вектор завихренности; этот и последующие результаты могут быть легко доказаны с помощью предварительных обозначений, которые я оставляю вам (или обратитесь к « Гидродинамике» Бэтчелора, глава 3). Дальше,$\mathbf{g}=\nabla(\mathbf{g}\cdot\mathbf{x})$, в котором$\mathbf{x}$- вектор положения из произвольно выбранного начала. Подставляя их в предыдущее уравнение и переставляя, мы получаем:

$$\nabla\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\nabla p=\mathbf{u}\times\mathbf{\omega}$$ С $\rho$меняется в зависимости от положения, его нельзя просто втянуть внутрь $\nabla$оператор.

Есть два способа упростить приведенное выше уравнение. Либо вы предполагаете, что течение безвихревое, т.е.$\omega=0$повсюду. Или вы интегрируете приведенное выше уравнение вдоль линии тока. Первое предположение сделать проще всего, но его трудно обосновать физически; даже если это могло начаться как безвихревой поток, потому что, скажем, изначально он находился в покое, он может не оставаться безвихревым, потому что это не баротропная жидкость ( теорема Кельвина о циркуляции неприменима). Поэтому мы делаем следующую лучшую вещь, а именно интегрируем по линии потока.

Линия тока – это кривая, которая касается скорости жидкости везде. Выберите линию тока, которая начинается на свободной поверхности и проходит через выходное отверстие. Позволять$\mathbf{t}$быть единичным касательным вектором к этой линии тока; то по определению линии тока$\mathbf{t}\times\mathbf{u}=0$в каждой точке линии тока. Поэтому$\mathbf{t}\cdot(\mathbf{u}\times\omega)=0$в каждой точке линии тока. Формирование скалярного произведения с$\mathbf{t}$предыдущего уравнения дает:

$$\mathbf{t}\cdot\nabla\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\mathbf{t}\cdot\nabla p=0\\ \frac{d}{ds}\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\frac{dp}{ds}=0$$ в котором $s$— параметр кривой тока (например, $s$может быть расстоянием вдоль линии тока), значение которого монотонно изменяется от $s_1$на свободной поверхности до $s_2$на выходном отверстии.

Затем мы интегрируем уравнение выше из$s_1$к$s_2$. т.е. применяем оператор$\int_{s_1}^{s_2}ds$. Первый термин прост:

$$\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{d}{ds}\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)=\left[ \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right]_{s_1}^{s_2}\\ =\frac{1}{2}(u_2^2-u_1^2)+g(z_2-z_1)=\frac{u_2^2}{2}-gh$$ в котором я выбрал ось Z вертикально вверх, чтобы $\mathbf{g}=-g\mathbf{e}_z$, $\mathbf{e}_z$являющийся единичным вектором вдоль оси Z и $g=|\mathbf{g}|$; Я также предположил, что скорость на свободной поверхности пренебрежимо мала.

Если мы запишем абсолютное давление как$p=p_{atm}+p'$, в котором$p_{atm}$атмосферное давление, то$dp/ds=dp'/ds$. Также$p'=0$на свободной поверхности, а также на выходном отверстии, поскольку давление там атмосферное (без учета эффектов поверхностного натяжения). Тогда второй член можно проинтегрировать по частям:

$$\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{1}{\rho}\frac{dp}{ds}=\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{1}{\rho}\frac{dp'}{ds}\\ =\left[ \frac{p'}{\rho}\right]_{s_1}^{s_2}+\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}\\ =\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}$$

Таким образом, уравнение Бернулли в вашем случае, применяемое между свободной поверхностью (точка 1) и выходным отверстием (точка 2), выглядит следующим образом:

$$\frac{u_2^2}{2}-gh+\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}=0$$ Если плотность постоянна вдоль линии тока, то $d\rho/ds=0$, и уравнение выше приводится к обычному виду $u_2=\sqrt{2gh}$. В противном случае имеем: $$u_2=\sqrt{2}\sqrt{gh+\int_{s_2}^{s_1}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}}$$ где направление интегрирования теперь от выходного отверстия к свободной поверхности. Мы можем написать $d\rho/ds=(d\rho/dz)(dz/ds)$, в котором $d\rho/dz$известно и $dz/ds$зависит от выбранной линии тока. Если жидкость первоначально находилась в покое, то она должна быть устойчиво расслоена; далее, если линия тока монотонно спускается (как на рисунке выше), то $d\rho/ds>0$везде по линии тока и значение $d\rho/ds$увеличивается от выходного отверстия к свободной поверхности. Манометрическое давление $p'$внутри интеграла является затруднительным членом, так как из-за наличия течения вдоль линии тока отличается от гидростатического значения.

ПриложениеПоскольку жидкость стратифицирована, можно возразить, что уравнение Навье-Стокса, с которого мы начали, не учитывает выталкивающую силу, действующую на частицу жидкости. В устойчиво стратифицированной жидкости, находящейся в равновесии, поверхности постоянной плотности горизонтальны; это означает, что пока поверхности с постоянной плотностью остаются горизонтальными, жидкая частица в этой горизонтальной плоскости не испытывает выталкивающей силы. Сила плавучести вступает в игру только тогда, когда поверхности с постоянной плотностью наклонены или искажены. Искажение, безусловно, будет наибольшим в области потока вблизи выходного отверстия, уменьшаясь по мере удаления от выходного отверстия. Поэтому уравнение Навье-Стокса, с которого мы начали, недействительно в области, близкой к выходному отверстию. По-видимому, эта область недостаточно велика, и наше уравнение выполняется примерно на остальной части линии тока вдали от выходного отверстия.

Пусть основание резервуара будет точкой отсчета (z = 0) для нулевой потенциальной энергии. Тогда форма уравнения Бернулли, которая была бы применима для этой задачи, включала бы интеграл от изменения плотности. Принимая два места для применения уравнения Бернулли как 1. верхнюю поверхность жидкости в резервуаре (при условии, что он открыт для атмосферы) и 2. выходное отверстие, мы имеем:

$$p_{atm}+\int_0^H{\rho g dz}+0=p_{atm}+\int_0^{(H-h)}{\rho g dz}+\frac{1}{2}\rho_{(H-h)} v^2$$ Это сводится к $$\frac{1}{2}\rho_{(H-h)} v^2=\int_{(H-h)}^H{\rho g dz}$$