Замедление времени на спутниках из-за GR

Уравнение, которое вы цитируете:

$$t' = t\sqrt{1-\frac{3GM}{rc^2}} \tag{1}$$

дает время относительно наблюдателя на бесконечности. Вам нужно время относительно наблюдателя на поверхности Земли. Вам необходимо рассчитать:

$$t_\text{satellite} = t\sqrt{1-\frac{3GM}{r_\text{satellite}c^2}}$$

и:

$$t_\text{Earth} = t\sqrt{1-\frac{2GM}{r_\text{Earth}c^2}}$$

где$r_\text{Earth}$это радиус Земли и$r_\text{satellite}$- радиус орбиты спутника (отсчитывается от центра Земли). Тогда относительное замедление времени равно отношению этих двух времен.

Обратите внимание, что уравнение (1) объединяет вклады специальной и общей теории относительности в замедление времени, т.е. оно включает как гравитационное замедление времени, так и влияние орбитальной скорости. Наблюдатель на поверхности Земли не находится на круговой орбите, поэтому уравнение немного отличается (коэффициент 2 в квадратном корне, а не 3).

Между прочим, когда гравитационное поле слабое (как у Земли), мы можем использовать приближение слабого поля для замедления времени:

$$\frac{dt_B}{dt_A} = \sqrt{1 - \frac{2(\Phi_A - \Phi_B)}{c^2}} \tag{1}$$

Количество$\Phi_A - \Phi_B$это разница в ньютоновской гравитационной потенциальной энергии между$A$и$B$, и$dt_B/dt_A$это замедление времени$B$часы относительно$A$часы.