Отмена эффектов специальной и общей теории относительности

Да, для круговой орбиты около$1.50$Земные радиусы, гравитационное и специально-релятивистское замедление времени компенсируются. GPS моделируется статической метрикой слабого поля (в единицах$c = 1$):

$$-d\tau^2 = -(1+2\Phi)dt^2 + (1-2\Phi)\underbrace{(dx^2+dy^2+dz^2)}_{dS^2},$$ поэтому мы можем приблизительно $$d\tau = dt\sqrt{1+2\Phi-(1-2\Phi)\frac{dS^2}{dt^2}}\approx\left[1+\Phi-\frac{v^2}{2}\right]dt,$$ с поправками на гравитационное замедление времени и специально-релятивистское замедление времени аддитивно к этому порядку, так как последнее дает множитель $1/\gamma = 1 - \frac{v^2}{2} + \mathscr{O}(v^4)$, в то время как стационарное гравитационное замедление времени будет иметь коэффициент $\sqrt{1+2\Phi} = 1 + \Phi + \mathscr{O}(\Phi^2)$.

В приведенном выше порядке приближения все часы на геоиде тикают с одинаковой скоростью, потому что геоид представляет собой эквипотенциальную поверхность суммы гравитационного и центробежного потенциалов (это иногда называют гравитационным потенциалом ). Этот общий фактор оказывается$1 - \alpha$, где$\alpha \approx 6.9692\times10^{-10}$.

Поскольку метрика статична,$\partial_t$поле Киллинга, обеспечивающее сохранение орбитальной удельной энергии$\epsilon = (1+2\Phi)\frac{dt}{d\tau}$. Если мы хотим, чтобы у спутника было такое же замедление времени, как и у часов на геоиде, то путем подстановки$\Phi$должна быть константой, а следовательно, и должна быть$v$. Другими словами, невозможно иметь орбиту, которая противопоставляет изменения гравитационного потенциала изменениям скорости, чтобы общее замедление времени оставалось неизменным.

Теперь, если мы аппроксимируем Землю как сферически симметричную с гравитационным потенциалом$\Phi = -\frac{\mu}{r}$, то понятно, что нужно рассматривать только круговые орбиты, и одно и то же условие тикрейта$-\Phi + \frac{v^2}{2} = \alpha$дает$\alpha = \frac{3}{2}\frac{\mu}{r}$, или$1.50$Земные радиусы.

---

Фактически гравитационный потенциал в модели GPS принимается монопольным и квадрупольным членами:

$$\Phi = -\frac{\mu}{r}\left[1-J_2\left(\frac{a_1}{r}\right)^2P_2(\cos\theta)\right],$$ где $\mu = GM_\text{E} = 3.986004418(9)\times 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$- стандартный гравитационный параметр, $J_2 = 1.0826300\times10^{-3}$– коэффициент квадрупольного момента, $a_1 = 6.3781370\times10^6\,\text{m}$- экваториальный радиус, $\theta$- обычный полярный угол, а $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$является полиномом Лежандра.

Эта ситуация немного сложнее, но вы все равно должны быть в состоянии получить орбиту, которая дает близкое соответствие в экваториальной плоскости.