Запутался с 4-векторной записью и 4-производной

У меня много проблем с выяснением правил алгебры и исчисления с 4-векторами. Этот пример иллюстрирует одну из моих проблем:

Лагранжиан для реального скалярного поля равен

л "=" 1 2 η мю ν ∂ мю ф ∂ ν ф − 1 2 м 2 ф 2 .
При попытке решить уравнение Эйлера-Лагранжа я не знаю, как оценить ( ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ) . Вот какие идеи у меня есть:

1.

( ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ) "=" 1 2 η мю ν ∂ ν ф "=" 1 2 ∂ мю ф .

2. Лагранжиан можно записать в виде л "=" 1 2 η мю ν ∂ мю ф ∂ ν ф − 1 2 м 2 ф 2 "=" 1 2 ∂ мю ф ∂ мю ф − 1 2 м 2 ф 2 , так

( ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ) "=" 1 2 ∂ мю ф .

3. Но лагранжиан также можно записать в виде л "=" 1 2 ∂ ν ф ∂ ν ф − 1 2 м 2 ф 2 , так в этом случае, как я могу это оценить? я меняю ( ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ) к ( ∂ л ∂ ( ∂ ν ф ) ) ?

4. Мы можем записать лагранжиан в виде л "=" 1 2 ∂ мю ф ∂ мю ф − 1 2 м 2 ф 2 "=" 1 2 ( ∂ мю ф ) 2 − 1 2 м 2 ф 2 , поэтому в этом случае имеем

( ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ) "=" 1 2 2 ( ∂ мю ф ) "=" ∂ мю ф .

Ни один из них не является правильным ( ∂ мю ф ) ! Как получить правильный ответ? Что я делаю не так? Есть ли ресурсы, где мне могут конкретно помочь с такими проблемами?

Ответы (1)

Кажется, у вас возникли проблемы с индексной записью и соглашением о суммировании Эйнштейна, поэтому я рекомендую их освежить.

Во-первых, мю в л является фиктивным индексом, а мю в ∂ / ∂ ( ∂ мю ф ) является живым индексом. Вы не можете написать их оба как мю иначе вы столкнетесь с проблемами. Например, если вы собираетесь использовать мю в ∂ / ∂ ( ∂ мю ф ) , вы должны изменить фиктивные индексы в л к чему-то вроде

л "=" 1 2 η р λ ∂ р ф ∂ λ ф − 1 2 м 2 ф 2

Во-вторых, ∂ мю ф не зависит от ∂ мю ф , поэтому вы не можете рассматривать его как константу во второй точке. Кроме того, в вашем четвертом пункте вы никак не можете иметь ∂ мю ф ∂ мю ф "=" ( ∂ мю ф ) 2 так как у вас есть фиктивный индекс слева, но живой индекс справа.

Наконец, производная одного компонента по отношению к другому компоненту того же объекта является дельта-функцией. Например,

∂ в 1 ∂ в мю "=" дельта мю 1
так как компоненты линейно независимы. Затем вы можете применить это к расширенному выражению ∂ мю ф ∂ мю ф "=" − ∂ 0 ф ∂ 0 ф + ∂ 1 ф ∂ 1 ф + ∂ 2 ф ∂ 2 ф + ∂ 3 ф ∂ 3 ф . В качестве альтернативы, если вы достаточно уверены, вы также можете применить правило продукта непосредственно к η р λ ∂ р ф ∂ λ ф .

Надеюсь, это прояснит (по крайней мере, часть) вашего замешательства.

Явно, по правилу произведения
∂ ∂ ( ∂ мю ф ) ( 1 2 η р λ ∂ р ф ∂ λ ф ) "=" 1 2 η р λ ( дельта р мю ∂ λ ф + ∂ р ф дельта λ мю ) "=" 1 2 ( η мю λ ∂ λ ф + η р мю ∂ р ф ) "=" ∂ мю ф .
Ваш ответ и комментарий JG очень помогли. Теперь я вижу, как получить правильный ответ. Однако у меня есть еще один вопрос. я знаю что ∂ мю Икс мю есть, как ты сказал мю вот фиктивный индекс, поэтому я должен его расширить. Но что такое ∂ мю ф ? Это 4-вектор ( ∂ т ф , ∂ Икс ф , ∂ у ф , ∂ ф ) или просто представление для 4 возможных частных производных? Мой учебник определяет ∂ мю как оператор ( ∂ т , ∂ Икс , ∂ у , ∂ г ) .
@ColourfulSpacetime Это представление для 4 возможных частных производных, по одной в каждом направлении координат. Набор частных производных образует компоненты ковекторного поля (или одной формы) д ф "=" ∂ мю ф д Икс мю . Обратите внимание, что это работает только для скаляров; для тензоров вам нужно будет использовать ковариантную производную.
Запутался с 4-векторной записью и 4-производной
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v