Получите нелинейную модель σσ\sigma из теории SU(2) matirx

В главе VI.4 книги А. Зи «Кратко о квантовой теории поля» говорится , что эта теория определяется как$L(U(x))=\frac{f^2}{4}Tr(\partial_{\mu}U^{\dagger}\cdot\partial^{\mu}U)$, можно записать в виде нелинейного$\sigma$модель (до некоторого порядка)

$L=\frac{1}{2}(\partial\vec{\pi})^2+\frac{1}{2f^2}(\vec{\pi}\cdot\partial\vec{\pi})^2+...$,

где$U(x)=e^{\frac{i}{f}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}}$является матричнозначным полем, принадлежащим$SU(2)$,$\vec{\pi}$представляет собой трехкомпонентный вектор,$\vec{\tau}$являются матрицами Паули. Может быть, это не сложно, но я встречаю некоторые проблемы, чтобы получить его.

Я полагаю, что первым шагом является разложение Тейлора$U$,$U=1+\frac{i}{f}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}-\frac{1}{2f^2}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})^2+...$, а потом$\partial^{\mu}U=\frac{i}{f}\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})-\frac{1}{f^2}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})$, затем

$(\partial_{\mu}U^{\dagger})(\partial^{\mu}U)=\frac{1}{f^2}[\partial(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})]^2+\frac{1}{f^4}.[(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})\partial(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})]^2$.

Теперь есть мои вопросы,

(1) Могу ли я написать$\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$? Затем по$\vec{\tau}^2=1$, Я получил

$L=\frac{1}{4}(\partial\vec{\pi})^2+\frac{1}{4f^2}(\vec{\pi}\cdot\partial\vec{\pi})^2$,

что почти правильно, но отличается от желаемого ответа на предварительный фактор$\frac{1}{2}$.

(2) Предположим$\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$правильно, однако, если я делаю$\partial^{\mu}U=\frac{i}{f}U\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\frac{i}{f}U\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$во-первых, кажется$\partial^{\mu}U^{\dagger}\cdot\partial^{\mu}U=|\frac{i}{f}U\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}|^2=\frac{1}{f^2}(\partial\vec{\pi})^2$скажем, только первый член желаемого ответа.

Я, наверное, где-то сделал что-то не так, кто-нибудь может меня ударить?