Почему можно сделать ВВВ стационарным относительно параметра поля в теореме Деррика?

Question

Почему можно сделать ВВВ стационарным относительно параметра поля в теореме Деррика?

Физика
солитоны
лагранжев формализм
квантовая теория поля
вариационный принцип
классическая теория поля

jeau_von_shrau

Я рассматриваю вывод Коулмана теоремы Деррика для реальных скалярных полей в главе « Классические глыбы и их квантовые потомки из аспектов симметрии» (стр. 194).

Теорема: Пусть $\phi$ быть набором скалярных полей (собранных в большой вектор) в одном временном измерении и $D$ размеры пространства. Пусть динамика этих полей определяется выражением

$\begin{aligned} л & "=" \frac{1}{2} \partial_{мю} ф \partial^{мю} ф - U (ф) \end{aligned}$ $\begin{align} \mathcal{L} &= \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-U(\phi) \end{align}$

и разреши $U$ быть неотрицательной и равной нулю для основного состояния (состояний) теории. Тогда для $D\geq2$ единственными неособыми независимыми от времени решениями конечной энергии являются основные состояния.

Доказательство: определить $V_1 =\frac{1}{2}\int d^Dx(\nabla\phi)^2$ и $V_2 = \int d^DxU(\phi)$ . $V_1$ и $V_2$ оба неотрицательны и одновременно равны нулю только для основных состояний. Определять

$\begin{aligned} ф (Икс, λ) \equiv ф (λ Икс) \end{aligned}$ $\begin{align} \phi(x,\lambda)\equiv\phi(\lambda x) \end{align}$ где $\lambda\in\mathbb{R}^+$ . Для этих функций энергия определяется выражением $\begin{aligned} В (λ, ф) "=" λ^{2 - Д} В_{1} + λ^{- Д} В_{2} \end{aligned}$ $\begin{align} V(\lambda,\phi) = \lambda^{2-D}V_1 + \lambda^{-D}V_2 \end{align}$

Я знаю, что это должно быть неподвижно в $\lambda=1$ . Но я утверждаю, что он должен быть неподвижным относительно полей, а не нашего параметра $\lambda$ . Итак, официальное заявление

\begin{aligned} \frac{\partial В}{\partial λ} |_{λ "=" 1} "=" \frac{дельта В}{дельта ф} \frac{\partial ф}{\partial λ} |_{λ "=" 1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial V}{\partial\lambda}\biggr\rvert_{\lambda=1} = {\frac{\delta V}{\delta \phi}}\frac{\partial\phi}{\partial\lambda}\biggr\rvert_{\lambda=1} \end{align}$ и мы знаем

\begin{aligned} \frac{дельта В}{дельта ф} |_{λ "=" 1} "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta V}{\delta\phi}\rvert_{\lambda=1}=0 \end{align}$ такие, что мы можем сделать

V

$V$ стационарный относительно

λ

$\lambda$

\begin{aligned} \frac{\partial В}{\partial λ} |_{λ "=" 1} "=" (Д - 2) В_{1} + Д В_{2} "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial V}{\partial\lambda}\biggr\rvert_{\lambda=1} = (D-2)V_1 + DV_2 = 0 \end{align}$

Это правильный способ аргументации? Я действительно не понимаю, как смешивать функциональные и частные производные. Но я думаю, что мое цепное правило между пробелами не в порядке.

Я нашел https://math.stackexchange.com/q/476497/ , а также теорему Деррика . Они связаны, но не отвечают на вопрос так формально.

Любопытный Разум

Вы можете избавиться от смеси функционалов и частных чисел, если будете использовать уравнения Эйлера-Лагранжа вместо

δ V / δ ϕ = 0

$\delta V/\delta \phi = 0$ , Я думаю.

jeau_von_shrau

Интересно, я думаю, заявление

\frac{δ V}{δ ϕ} |_{λ = 1} = 0

$\frac{\delta V}{\delta\phi}\biggr\rvert_{\lambda=1}=0$ является уравнением Эйлера-Лагранжа для этого, потому что лагранжиан не имеет

\partial_{μ} ϕ

$\partial_\mu\phi$ зависимость. я не думаю, что могу думать о

L

$L$ как

L [ϕ, \partial_{μ} ϕ; λ, \partial_{μ} λ]

$L[\phi,\partial_\mu\phi; \lambda,\partial_\mu\lambda]$ или что-то с тех пор

λ

$\lambda$ это не в функциональном пространстве, нет?

Ответы (1)

Почему можно сделать ВВВ стационарным относительно параметра поля в теореме Деррика?

Вы можете избавиться от смеси функционалов и частных чисел, если будете использовать уравнения Эйлера-Лагранжа вместо $\delta V/\delta \phi = 0$ , Я думаю.
Интересно, я думаю, заявление $\frac{\delta V}{\delta\phi}\biggr\rvert_{\lambda=1}=0$ является уравнением Эйлера-Лагранжа для этого, потому что лагранжиан не имеет $\partial_\mu\phi$ зависимость. я не думаю, что могу думать о $L$ как $L[\phi,\partial_\mu\phi; \lambda,\partial_\mu\lambda]$ или что-то с тех пор $\lambda$ это не в функциональном пространстве, нет?

Qмеханик · Answer 1

Хорошо, возможно, обозначения в Ref. 1 немного сбивает с толку. Давайте подробнее остановимся на теореме Деррика о непроходимости :

Теорема Деррика о запрете: для количества пространственных измерений $D>2$ , единственными независимыми от времени решениями с конечной энергией являются основные состояния.

В двух словах, идея доказательства состоит в том, чтобы вывести необходимое условие с помощью простого 1-параметрического масштабирующего аргумента. (Вопреки тому, что можно было бы наивно ожидать, не особенно полезно составлять уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) с помощью функционального дифференцирования, потому что мы мало знаем о потенциальном $U$ .)

Поскольку мы рассматриваем не зависящие от времени конфигурации полей, мы должны найти стационарные $^1$ конфигурации поля для полной потенциальной энергии

\begin{matrix} (1) & В [ф] "=" В_{1} [ф] + В_{2} [ф], \end{matrix}

$V[\phi]~=~V_1[\phi]+ V_2[\phi], \tag{1}$

где

\begin{matrix} (2) & В_{1} [ф] "=" \frac{1}{2} \int г^{Д} Икс (\nabla ф)^{2} \geq 0, В_{2} [ф] "=" \int г^{Д} Икс U (ф) \geq 0, U (ф) \geq 0. \end{matrix}

$V_1[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \int \!\mathrm{d}^Dx~ (\nabla \phi)^2 ~\geq~ 0, \qquad V_2[\phi]~:=~ \int \!\mathrm{d}^Dx~ U(\phi)~\geq~ 0, \qquad U(\phi) ~\geq~ 0. \tag{2}$

Теперь мы хотим проверить, соответствует ли какая-либо конфигурация поля ${\bf x} \mapsto \phi_1({\bf x})$ является стационарным. Определите семейство конфигураций поля с 1 параметром

\begin{matrix} (3) & ф_{λ} (Икс) "=" ф_{1} (λ Икс), λ е [0, \infty [. \end{matrix}

$\phi_{\lambda}({\bf x})~:=~\phi_1(\lambda{\bf x}), \qquad \lambda ~\in~ [0,\infty[.\tag{3}$

Обратите внимание, что $\phi_{\lambda=1}=\phi_1$ , поэтому запись (3) непротиворечива. Затем вычисляем (посредством замены переменных в интегралах), что

\begin{matrix} (4) & В [ф_{λ}] "=" λ^{2 - Д} В_{1} [ф_{1}] + λ^{- Д} В_{2} [ф_{1}] . \end{matrix}

$V[\phi_{\lambda}]~=~\lambda^{2-D}V_1[\phi_1]+\lambda^{-D}V_2[\phi_1].\tag{4}$

Необходимое (но далеко не достаточное!) условие $\phi_1$ быть стационарным, значит дифференцировать функцию $\lambda \mapsto V[\phi_{\lambda}]$ относительно параметр $\lambda$ в точку $\lambda=1$ ,

\begin{matrix} (5) & 0 \overset{?}{"="} {\frac{г В [ф_{λ}]}{г λ} |}_{λ "=" 1} "=" (2 - Д) В_{1} [ф_{1}] - Д В_{2} [ф_{1}] . \end{matrix}

$0~\stackrel{?}{=}~ \left. \frac{d V[\phi_{\lambda}]}{d\lambda}\right|_{\lambda=1}~=~ (2-D) V_1[\phi_1] - D V_2[\phi_1]. \tag{5}$

Варьирование по семейству 1 параметра составляет только одну из бесконечно многих возможностей варьировать конфигурацию поля. $\phi_1$ , но это единственное, что нам нужно!

Далее мы предполагаем $^2$ что $D>2$ . Тогда ур. (5) возможно только в том случае, если

\begin{matrix} (6) & В_{1} [ф_{1}] "=" 0 "=" В_{2} [ф_{1}] . \end{matrix}

$V_1[\phi_1]~=~0~=~V_2[\phi_1].\tag{6}$

уравнение (6а) означает, что

\begin{matrix} (7) & \nabla ф_{1} \equiv 0, \end{matrix}

$\nabla \phi_1 \equiv 0,\tag{7}$

или эквивалентно этому

\begin{matrix} (8) & ф_{1} является Икс -независимый . \end{matrix}

$\phi_1 \text{ is ${\bf x}$-independent}.\tag{8}$

уравнение (6b) и (8) влекут, что

\begin{matrix} (9) & ф_{1} является основным состоянием . \end{matrix}

$\phi_1 \text{ is a ground state}.\tag{9}$

Использованная литература:

С. Коулман, Аспекты симметрии, 1985; п. 194.
Р. Раджараман, Солитоны и инстантоны: введение в солитоны и инстантоны в квантовой теории поля, 1987; Раздел 3.2 и 3.3.

--

$^1$ Стационарные в том смысле, что они удовлетворяют уравнениям ЭЛ для $V$ , т. е. функциональная производная обращается в нуль,

\begin{matrix} (10) & 0 \approx \frac{дельта В [ф]}{дельта ф} "=" - \nabla^{2} ф + \frac{\partial U (ф)}{\partial ф} . \end{matrix}

$0~\approx~\frac{\delta V[\phi]}{\delta \phi}~=~ -\nabla^2\phi + \frac{\partial U(\phi)}{\partial \phi}.\tag{10}$

[Здесь $\approx$ символ означает равенство по модулю уравнений EL.]

$^2$ Дело $D=2$ . Вопреки тому, что Ref. 1, теорема Деррика о запрете прохода не выполняется для $D=2$ . Рассмотрим здесь только $D=2$ случай. Мы утверждаем, что уже нельзя сделать вывод, что $V_1[\phi_1]$ должно быть равно нулю. Ссылка 1 дает следующее неверное доказательство (используя наши обозначения):

Для $D = 2$ , однако уравнение (5) означает только обращение в нуль $V_2[\phi_1]$ , и требуется небольшое количество дополнительных аргументов. Если $V_2[\phi_1]$ обращается в нуль, он стационарен, так как ноль является его минимальным значением. Таким образом, мы можем применить принцип Гамильтона к $V_1[\phi_1]$ самостоятельно, из чего тривиально следует, что $V_1[\phi]$ также исчезает. КЭД

Термин потенциальной энергии $V_2[\phi_1]=0$ должен быть равен нулю, ср. экв. (5). Другими словами, $\phi_1$ -изображение

\begin{matrix} (11) & я м (ф_{1}) \subseteq U^{- 1} ({0}) \end{matrix}

${\rm Im}(\phi_1) ~\subseteq ~U^{-1}(\{0\}) \tag{11}$

должен лежать в нулевом геометрическом месте $U^{-1}(\{0\})$ ( или прообраз $\{0\}$ ) потенциала $U$ , т.е. множество точек минимума для потенциала $U$ в целевом пространстве.

Множитель Лагранжа. Кроме того, если ограничение $\chi(\phi)\approx 0$ эмулирует нулевое геометрическое место $U^{-1}(\{0\})=\chi^{-1}(\{0\})$ функционал (1) можно эффективно заменить на

\begin{matrix} (12) & \tilde{В} [ф, Λ] "=" В_{1} [ф] + \int г^{Д} Икс Λ х (ф), \end{matrix}

$\tilde{V}[\phi,\Lambda]~=~V_1[\phi]+ \int \!\mathrm{d}^Dx~\Lambda~ \chi(\phi) , \tag{12}$

где $\Lambda=\Lambda({\bf x})$ является множителем Лагранжа. Уравнения EL читаются

\begin{matrix} (13) & 0 \approx \frac{дельта \tilde{В} [ф, Λ]}{дельта ф} "=" - \nabla^{2} ф + Λ \frac{\partial х (ф)}{\partial ф} . \end{matrix}

$0~\approx~\frac{\delta\tilde{V}[\phi,\Lambda]}{\delta \phi}~=~ -\nabla^2\phi + \Lambda ~\frac{\partial \chi(\phi)}{\partial \phi}.\tag{13}$

Невозможно точно знать, как Ref. 1 сделал неверный вывод $V_1[\phi_1]=0$ , но это может быть частично вызвано тем, что мы забыли должным образом принять во внимание ограничивающую силу, т.е. последний член в уравнении. (13).

Одноточечная компактификация пространства. В полярных координатах член $V_1[\phi_1]$ читает

\begin{matrix} (14) & 0 \leq В_{1} [ф_{1}] "=" \int_{0}^{2 π} г θ \int_{0}^{\infty} г р (р {(\frac{\partial ф_{1}}{\partial р})}^{2} + \frac{1}{р} {(\frac{\partial ф_{1}}{\partial θ})}^{2}) < \infty . \end{matrix}

$0~\leq~V_1[\phi_1]~=~\int_0^{2\pi} \! \mathrm{d}\theta \int_0^{\infty} \! \mathrm{d}r~\left(r \left(\frac{\partial \phi_1}{\partial r}\right)^2+ \frac{1}{r} \left(\frac{\partial \phi_1}{\partial \theta}\right)^2 \right)~<~\infty.\tag{14}$

Для каждого $\theta\in[0,2\pi[$ , при мягких условиях регулярности можно считать, что предел

\begin{matrix} (15) & \underset{р \to \infty}{лим} \frac{\partial ф_{1}}{\partial θ} \end{matrix}

$\lim_{r\to \infty}\frac{\partial \phi_1}{\partial \theta}\tag{15}$

существует. Чтобы энергия (14) оставалась конечной, предел (15) должен быть равен нулю. Другими словами,

\begin{matrix} (16) & ф_{1} (р "=" \infty, θ) не зависит от θ . \end{matrix}

$\phi_1(r\!=\!\infty,\theta) \text{ does not depend on } \theta.\tag{16}$

Таким образом, мы можем эффективно одноточечно компактифицировать пространство $\mathbb{R}^2\cup \{\infty\}\cong S^2$ в 2-сферу $S^2$ .

Контрпример. Один контрпример с конечным $V_1[\phi_1]>0$ это так называемый ребенок скирмион в $2D$ $O(3)$ модель с потенциалом мексиканской шляпы. Целевое пространство здесь $\mathbb{R}^3$ , и нулевое геометрическое место

\begin{matrix} (17) & U^{- 1} ({0}) "=" {ф е р^{3} | | ф | "=" 1} ≅ С^{2} \end{matrix}

$U^{-1}(\{0\})~=~\{\phi \in \mathbb{R}^3 |~ |\phi| =1\}~\cong~S^2\tag{17}$

для потенциальных $U$ образует 2-сферу. Потому что $\pi_2(S^2)\cong \mathbb{Z}$ , конфигурация поля $\phi_1:S^2\to S^2$ защищен топологическим зарядом

\begin{matrix} (18) & В_{1} [ф_{1}] \geq 4 π | Вопрос | . \end{matrix}

$V_1[\phi_1]~\geq~ 4\pi |Q|.\tag{18}$

Если $Q\neq 0$ , делаем вывод, что $\phi_1$ не является основным состоянием. См., например, ссылку. 2 для получения дополнительной информации.

Вы говорите об экв. (6a) и (6b), но у вас есть только одно уравнение. (6).
@ACuriousMind: Да, я имел в виду два знака равенства в уравнении. (6) соответственно.
@Qmechanic: это фантастический ответ. Но мне непонятна эта "необходимая (но недостаточная!)" строчка в уравнении 5. Почему разумно брать правильную производную от функционала $V$ . Можешь внятно объяснить?
Карта $\phi\mapsto V[\phi]$ действительно является функционалом, а $\lambda \mapsto V[\phi_{\lambda}]$ это просто функция. Поэтому обычная производная $\frac{d }{d\lambda}$ достаточно в ур. (5) (в отличие от функциональной производной $\frac{\delta }{\delta\phi}$ ).

Почему можно сделать ВВВ стационарным относительно параметра поля в теореме Деррика?

jeau_von_shrau

Любопытный Разум

jeau_von_shrau

Ответы (1)

Qмеханик

Любопытный Разум

Qмеханик

jeau_von_shrau

Qмеханик

«Найти лагранжиан теории»

Почему мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа для квантовых полей?

Несколько стационарных точек функционала действия

Почему уравнения Эйлера-Лагранжа остаются инвариантными, если мы добавляем к действию поверхностный член?

Почему вариация поверхностного члена равна нулю?

Как квантовый принцип действия Швингера связан с наименьшим действием?

Полная энергия экстремальна для статических решений уравнения движения

Запутался с 4-векторной записью и 4-производной

Об уловке для получения тока Нётер

Не хватает ли «типичным» КТП лагранжевого описания?