Происхождение канонических равновременных коммутационных соотношений

Фактически, с некоторым техническим предположением, CCR возникает из-за требования совместимости лагранжевого/гамильтонового формализма и стандартной формулировки квантовой теории. Ниже я не буду предельно строг, а лишь укажу путь, которым нужно следовать для достижения желаемого результата.

Рассмотрим гамильтониан теории, он гласит

$$H(t_0) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^3, t=t_0} \Pi_\mu \Pi^\mu + \vec{\nabla} A_\mu \cdot \vec{\nabla} A_\mu d^3x\tag{1}$$ Из эволюции операторов Гейзенберга мы обязаны предположить, что $$\partial_t A_\mu(t,x) = i[H(t), A_\mu(t,x)]\tag{2}\:.$$ С другой стороны, из уравнений Гамильтона или непосредственно из определения сопряженного импульса в лагранжевой формулировке мы имеем $$\Pi_\mu(t,x) = \partial_t A_\mu(t,x)\tag{3}\:.$$ Итак, сложив (1) и (2) вместе, должно быть $$\int [\Pi_\mu(t,x) \Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x+ \int [\vec{\nabla} A_\mu(t,x) \cdot \vec{\nabla} A_\mu(t,x), A^\nu(t,y)] d^3x = -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ Если теперь предположить, что

Н1 . измерения в разных положениях в одно и то же фиксированное время, как правило, различных компонентов$A_\mu$совместимы в квантовом смысле ,

т.е.,$[A_\mu(t,x), A^\nu(t,y)]=0$,

это остается

$$\int [\Pi_\mu(t,x) \Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x= -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ то есть $$\int \Pi_\mu(t,x)\:[\Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x + \int [\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]\: \Pi^\mu(t,x) d^3x= -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ Если теперь мы далее предположим, что

Н2 .$[\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]$это число$[\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]= c(t,x,y)I$так что он коммутирует с операторами,

у нас есть

$$\int \Pi_\mu(t,x)c(t,x,y) d^3x = -i\partial_t A^\nu(t,y)\:.$$ Из (3) $$\int \Pi_\mu(t,x)c(t,x,y) d^3x = -i\Pi_\nu(t,y)\:.$$ Это означает $$\int \Pi_\mu(t,x)\left(c(t,x,y) + i\delta(x,y) \delta^\mu_\nu \right)d^3x =0\:.\tag{5}$$ Это тождество должно быть интерпретировано в рамках процедуры смазывания с фиксированным временем (также следует интерпретировать предыдущие строки таким же образом, но здесь я делаю явным формализм, поскольку необходима важная дальнейшая гипотеза, которая сформулирована с помощью этого формализма): операторы $A(t,x)$и $\Pi(t,x)$приходится размазывать гладкими компактно поддерживаемыми функциями $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$порождая операторы размытого поля , имеющие математический смысл. $$A(t,f) := \int A(t,x) f(x) d^3x\:,\quad \Pi(t,f) := \int \Pi(t,x) f(x) d^3x$$ Например $$[A(t,x), \Pi(t,y)] = i \delta(x-y)I$$ должен быть интерпретирован как короткий способ написать $$[A(t,f), \Pi(t,g)] = i \int f(x)g(x) d^3x \:I$$ Таким образом, (5) фактически означает, что для любой гладкой функции с компактным носителем $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, $$\int d^3y \int \Pi_\mu(t,x)\left(c(t,x,y)f(y) + i\delta(x,y) f(y)\delta^\mu_\nu \right)d^3x =0$$ Другими словами $$\Pi_\mu\left(t, \int c(t,\cdot,y)f(y) d^3y +i \delta^\mu_\nu f\right) =0\tag{6}$$ Последняя гипотеза, которую я требую, заключается в том, что

Н3 . распределение, оцененное оператором$f \mapsto \Pi_\mu(t,f)$исчезает тогда и только тогда, когда$f=0$.

При этом из (6) следует

$$\int c(t,x,y)f(y) d^3y +i \delta^\mu_\nu f(x) =0$$ для каждой указанной функции $f$, что значит $$c(t,x,y) = -i\delta^\mu_\nu \delta(x-y)\:,$$ как хотел.