Нётеровский заряд для преобразования Лоренца в терминах операторов рождения/уничтожения

Я пытаюсь вычислить сохраняющийся заряд для непрерывной симметрии Лоренца для реального скалярного поля с точки зрения операторов рождения/уничтожения. Так что я,

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2$$

Следуя тому же аргументу, что и Какой закон сохранения соответствует бустингу Лоренца? , я могу показать, что сохраняющийся заряд равен

$$M^{\mu \nu} = \int \left( x^{\mu} T^{0 \nu} - x^{\nu} T^{0 \mu} \right) \mathrm{d}^3x$$

Однако мне нужно выразить это в терминах операторов создания и уничтожения. Итак, я начал с того, что записал условия для моего тензора энергии-импульса.

Для этой задачи мы записываем преобразование Лоренца как:

$$\Lambda^{\mu}_{\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} + \omega^{\mu}_{\nu}$$

где$\omega$является антисимметричным. Из-за этого наш тензор энергии-импульса также будет антисимметричным и, следовательно,$T^{00} = 0$. Это позволяет мне писать:

$$T^{0\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi)} \partial^{\mu} \phi\; - \; \delta^{0 \mu} = \frac{1}{2} \partial^{0} \phi \; \partial^{\mu} \phi$$

Используя это, я получаю,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu} \partial^{0}\phi\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \partial^{0}\phi \; \partial^{\nu} \phi$$

Если мы используем сигнатуру (1, -1, -1, -1) для нашей метрики, мы можем написать,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu} \dot{\phi}\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \dot{\phi} \; \partial^{\nu} \phi = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu}\; \Pi(x, t)\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \; \Pi(x, t) \; \partial^{\nu} \phi$$

где$\Pi(x, t)$— наш канонический сопряженный импульс (плотность).

Теперь, я немного сомневаюсь в следующей части, но дальше я сказал, что потому что$x^{\mu}$будет просто компонентом позиционного 4-вектора (и, следовательно, числом), я могу переместить его за пределы интеграла, чтобы написать

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \left[ x^{\mu} \int \mathrm{d}^3 x \; \Pi(x, t) \partial_{\nu} \phi - x^{\nu} \int \mathrm{d}^3 x \; \Pi(x, t) \partial_{\mu} \phi \right]$$

Знаки перевернулись, когда я опустил указатель. Это дает,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \left[ x^{\mu} P_{\nu} - x^{\nu} P_{\mu} \right] = \frac{1}{2} \left[ x^{\nu} P^{\mu} - x^{\mu} P^{\nu} \right]$$

Это имеет смысл, потому что это принимает форму угловых моментов, но я не знаю, как упростить это, чтобы получить его с точки зрения суммы произведения операторов создания/уничтожения, один из которых дифференцируется. Я застрял здесь.