Запутанных состояний больше или незапутанных?

Я пытаюсь понять запутанность с точки зрения дефицита и изобилия .

Дан произвольный вектор в представляющее чистое квантовое состояние, скажем, размерности 4, т.е. в е ЧАС ⊗ 4 ,

Является в с большей вероятностью будет запутанным, чем незапутанным (разделимым)?

Пытаясь ответить на него самостоятельно, я вижу, что тест отделимости основан на кванторе существования , а именно на попытке доказать, что ∃ в 1 , в 2 е ЧАС ⊗ 2 такой, что в 1 ⊗ в 2 знак равно в .

С другой стороны, тест на запутанность основан на универсальном кванторе ,

∀ в 1 , в 2 е ЧАС ⊗ 2 , в 1 ⊗ в 2 ≠ в .
Таким образом, это рассуждение может означать, что запутанных векторов гораздо меньше, чем разделимых, потому что легче найти один простой пример (экзистенциальный), удовлетворяющий условию, чем проверять каждый отдельный (универсальный).

Этот результат имел бы физический смысл, поскольку запутанность является ценным ресурсом, поэтому интуитивно ее должно быть мало.

Имеет ли это рассуждение вообще какой-либо смысл, или я говорю ерунду? Любая помощь будет принята с благодарностью.

PS: я бы предположил, что распространение этого рассуждения на матрицы (плотности) было бы очевидным.

«PS: я бы предположил, что распространение этого рассуждения на матрицы (плотности) было бы очевидным». --- Почему вы так решили? На самом деле, хотя почти все чистые состояния запутаны, запутана лишь конечная доля всех смешанных состояний данного измерения.
@NorbertSchuch, это интересно, не могли бы вы дать ссылку на документ, показывающий это?
@glS Что интересно?
@NorbertSchuch Я имел в виду тот факт, что для смешанного состояния существует конечная доля разделимых состояний
@glS Хорошо, во-первых, известно, что в любом измерении есть шар вокруг максимально смешанного состояния, которое является сепарабельным, поэтому объем сепарабельных состояний должен быть ненулевым. С другой стороны, вы можете видеть (например, с помощью PPT), что вокруг чистого запутанного состояния будет шар запутанных состояний, поэтому они также имеют ненулевой объем. Но я уверен, что это было изучено более количественно, но я не знаю ссылки на голову. Обзоры о запутанности могут быть хорошей отправной точкой.
@glS Поиск «объема» «разделяемых состояний» , безусловно, дает некоторые полезные ресурсы для начала.

Ответы (4)

Я предполагаю, что у вас есть конечномерное базовое гильбертово пространство ЧАС 0 и что вы строите свое полное гильбертово пространство как ЧАС знак равно ЧАС 0 ⊗ ЧАС 0 . В этих условиях множество сепарабельных состояний имеет нулевую меру .

(Это становится немного сложнее, если у вас есть ЧАС 0 ⊗ 4 и вы можете разделить его как хотите между этими двумя факторами, и ответ отрицательный, если вам разрешено искать любую структуру тензорного произведения в вашем пространстве, поскольку вы всегда можете взять один фактор вдоль заданного | ψ ⟩ .)

Рассмотрим тогда заданное основание { | н ⟩ : н знак равно 1 , … , Н } за ЧАС 0 , что означает, что любое произвольное состояние | ψ ⟩ е ЧАС можно записать как

| ψ ⟩ знак равно ∑ н , м ψ н м | н ⟩ ⊗ | м ⟩ .
Если, в частности, | ψ ⟩ можно записать в виде тензорного произведения | ψ ⟩ знак равно | ты ⟩ ⊗ | в ⟩ , то у вас есть
| ψ ⟩ знак равно ( ∑ н ты н | н ⟩ ) ( ∑ м в м | м ⟩ ) знак равно ∑ н , м ты н в м | н ⟩ ⊗ | м ⟩ ;
то есть матрица коэффициентов ψ н м имеет вид ψ н м знак равно ты н в м . Это означает, что эта матрица имеет ранг один, а значит, ее определитель должен быть равен нулю. Поскольку определитель является непрерывной полиномиальной функцией дет : С Н × Н → С , его нулевое множество имеет нулевую борелевскую меру внутри С Н × Н , а значит, и внутри ЧАС .

Это означает, наконец, что если вы выберете случайный вектор | ψ ⟩ е ЧАС используя вероятностную меру, абсолютно непрерывную относительно канонической борелевской меры на ЧАС ≅ С Н × Н , то он почти наверняка запутался. В качестве дополнительного бонуса от точно такого же аргумента такой вектор фактически (почти наверняка) будет иметь полный ранг Шмидта .

Немного более интуитивно этот аргумент говорит о том, что сепарабельные состояния образуют очень тонкое многообразие внутри полного гильбертова пространства, и это довольно хорошо улавливается духом ответа Зелдриджа. В частности, для описания произвольного сепарабельного состояния нужно 2 Н − 1 комплексные параметры ( Н каждый для компонентов | ты ⟩ а также | в ⟩ , минус общая нормализация), поэтому, грубо говоря, сепарабельные состояния образуют подмногообразие размерности 2 Н − 1 . Однако это встроено в гораздо больший коллектор. ЧАС размера Н 2 , для описания которого требуется гораздо больше компонентов, поэтому для Н больше двух сепарабельные состояния действительно представляют собой очень тонкий срез.

Конечно, этот ответ показывает даже больше: незапутанные состояния имеют положительную коразмерность в пространстве состояний, которая значительно сильнее, чем мера нулевая.

Нет, на самом деле "большинство государств" запутались. (Это должно быть эвристикой; я свободно признаю, что это, вероятно, неприятная вещь, чтобы формально подойти к случайному выбору состояния.) Моя интуиция / причина, чтобы сказать это, заключается в том, что существуют методы приближения, которые работают, ограничивая себя подпространство с низкой запутанностью, такое как состояния матричного произведения (MPS) или состояние проецированной запутанной пары (PEPS), которые можно использовать для эффективного представления основных состояний и динамики определенных гамильтонианов.

Вот еще один, более конкретный пример. Предположим, у нас есть цепочка кубитов. Все состояния произведения могут быть указаны с помощью хранения двух чисел на кубит (углы Блоха или | 0 ⟩ а также | 1 ⟩ амплитуды). Поэтому для н кубиты, мы можем хранить 2 н числа, отражающие любое состояние продукта. Однако полное гильбертово пространство имеет 2 н состояний, что означает, что общее (непродуктовое) состояние требует спецификации 2 н различные комплексные числа. Очевидно, что существует бесконечное количество каждого из них, поскольку амплитуды непрерывны, но я думаю, должно быть ясно, что последний случай допускает гораздо больше состояний, особенно если вы дискретизируете пространство.

Причина, по которой запутанность является ресурсом, не в том, что запутанные состояния редки; скорее дело в том, что мы хотим ограничить запутанность исключительно несколькими интересующими нас системами, в то время как большинство состояний быстро запутываются со своим окружением.

Большинство состояний действительно запутаны (по крайней мере, по стандартным меркам). С другой стороны, большинство состояний по-прежнему гораздо более запутаны, чем состояния MPS (полный ранг Шмидта против довольно ограниченного ранга).
@EmilioPisanty Правильно; это просто моя первая мысль, когда я увидел вопрос. Я предполагаю, что это можно увидеть в более общей версии моего аргумента о стоимости параметризации состояния (т. е. стоимость представления более высоких рангов Шмидта растет экспоненциально). Но я думаю, что ваш ответ был достаточно полным, чтобы не сильно расширять мой.

Из выступления М. Городецкого я знаю , что запутанных состояний больше, чем сепарабельных. Также см. эту статью о том, как сепарабельные состояния образуют набор нулевой меры в чистом пространстве состояний.

Что касается вашего аргумента, то я думаю, что его тоже можно рассматривать таким образом.

| ψ ⟩ знак равно | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ можно рассматривать как ограничение на структуру государства. Для запутанного состояния такого ограничения на структуру нет, поэтому можно ожидать больше таких состояний, чем разделяемых состояний.

Еще одним аргументом может быть то, что приведенная матрица плотности партии из запутанного состояния является смешанным состоянием. Смешанных состояний больше, чем чистых.

Однако я бы посоветовал предостеречь от слишком большого доверия таким аргументам.

Множество запутанных состояний открыто и плотно в пространстве всех состояний (для данной системы). В этом смысле почти каждое состояние запутано.

Запутанных состояний больше или незапутанных?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v