Зависимость мультипольных моментов от начала координат

Question

Зависимость мультипольных моментов от начала координат

Прогноз погоды

Мультипольные моменты системы определяются с явной ссылкой на систему координат, например

г "=" \int г В р р мю "=" \frac{1}{2 с} \int г В [р \times Дж] {Вопрос}_{я Дж} "=" \int г В р (3 р_{я} р_{Дж} - {дельта}_{я Дж} р^{2})

$\boldsymbol{d}=\int dV\, \rho\,\boldsymbol{r}\\ \boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\int dV\, [\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{j}]\\ Q_{ij}=\int dV\, \rho(3r_ir_j-\delta_{ij}r^2)$ Только ведущий мультипольный момент не зависит от этого выбора. Предположим, что это дипольный момент.

d

$\boldsymbol{d}$ . Теперь рассмотрим гармоническую систему с частотой

ω

$\omega$ . Система будет излучать энергию, а интенсивность излучения

I

$I$ можно записать в терминах мультипольных моментов (извините, если коэффициенты неверны)

я "=" \frac{2}{3} \frac{ю^{4} г^{2}}{с^{3}} + \frac{2}{3} \frac{ю^{4} {мю}^{2}}{с^{3}} + \frac{ю^{6} {Вопрос}_{я Дж}^{2}}{180 с^{5}} + \dots

$I=\frac{2}{3}\frac{\omega^4\boldsymbol{d}^2}{c^3}+\frac{2}{3}\frac{\omega^4\boldsymbol{\mu}^2}{c^3}+\frac{\omega^6Q_{ij}^2}{180c^5}+\dots$ Сейчас

d, μ

$\boldsymbol{d},\boldsymbol{\mu}$ и

Q_{i j}

$Q_{ij}$ – амплитуды соответствующих колебательных моментов. Согласно учебникам, если присутствует дипольный момент, то дипольный член дает наибольший вклад в интенсивность излучения, а другие члены можно рассматривать как поправки. Предположим, мы хотим повысить точность, включив магнитный и квадрупольный вклады. Моя проблема в том, что эти поправки не кажутся четко определенными, потому что сами моменты зависят от нашего выбора начала координат. Возьмем для примера магнитный момент и сдвинем систему координат на вектор

a

$\boldsymbol{a}$ . Соответствующее изменение магнитного момента определяется выражением

Δ мю "=" \frac{1}{2 с} \int г В [а \times Дж]

$\Delta\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\int dV\, [\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{j}]$ разумно взять

a

$\boldsymbol{a}$ быть порядка размера всей системы

L

$L$ . Действительно, для общей системы без особой симметрии неопределенность того, где находится «центр», порядка размера системы. Но тогда

Δ μ

$\Delta\boldsymbol{\mu}$ и

μ

$\boldsymbol{\mu}$ вроде того же порядка

Δ μ = μ \propto L j / c

$\Delta\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}\propto L j/c$ . Таким образом, вопрос заключается в том, действительно ли можно повысить точность мультипольного разложения, включив только некоторые из членов более высокого порядка (конечно, полная сумма должна быть инвариантной)?

Редактировать: давайте рассмотрим конкретный пример, всегда хорошая идея. Возьмем точечный электрический диполь, колеблющийся с частотой $\omega$ и амплитуда $\boldsymbol{d}$ , т.е. $\boldsymbol{d}(t)=e^{-i\omega t}\boldsymbol{d}$ . Полное излучение дается известным выражением

я_{0} "=" \frac{2 ю^{4} г (т)^{2}}{3 с^{3}}

$I_0=\frac{2\omega^4\boldsymbol{d}(t)^2}{3c^3}$ Конечно, то же самое должно быть верно и для электрического диполя, расположенного не в начале координат, а в каком-то положении.

a

$\boldsymbol{a}$ . Соответствующие плотности тока и заряда равны

р "=" - (г (т) \nabla) дельта (р - а), Дж "=" - я ю г (т) дельта (р - а)

$\rho = -(\boldsymbol{d}(t)\nabla)\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}),\qquad \boldsymbol{j}=-i\omega\boldsymbol{d}(t)\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})$

дипольный момент конечно $\boldsymbol{d}(t)$ . Тем не менее, магнитный момент не равен нулю

мю "=" \frac{1}{2 с} \int г В [р \times - я ю г (т) дельта (р - а)] "=" - \frac{я к}{2} [а \times г (т)]

$\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\int\, dV [\boldsymbol{r}\times -i\omega\boldsymbol{d}(t)\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})]=-\frac{ik}{2}[\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{d}(t)]$ и для общего

a

$\boldsymbol{a}$ по общей формуле будет давать неисчезающий вклад в интенсивность излучения. Однако общая интенсивность должна даваться простым дипольным излучением.

I_{0}

$I_0$ . Эта проблема еще сильнее, чем та, которую я изначально поставил: не только произвол присутствует в подчиненных терминах, но даже включение терминов более высокого порядка не спасет от несоответствия.

СлучайныйПреобразование Фурье

Если вы переместите свой объект (переместите начало координат), интенсивность, измеренная в другом месте, изменится, потому что излучающий объект находится дальше (или ближе). Если перемещать излучатель вместе с измерительным прибором, то мультипольные моменты остаются прежними. Насколько я могу судить, здесь нет противоречия. Интенсивность четко определена и не зависит от происхождения, если вы согласны переводить источник и получатель одновременно.

Прогноз погоды

@AccidentalFourierTransform Я не согласен. Эта интенсивность представляет собой общий поток энергии (в секунду) до бесконечности, поэтому на самом деле она не зависит от источника.

СлучайныйПреобразование Фурье

Ах да, я говорил глупости. Простите за это.

Эмилио Писанти

Можете ли вы привести источники для утверждения, что в радиационном режиме будет преобладать момент ведущего порядка? Это стандартный факт в статическом случае, когда

ℓ

$\ell$ -полярные поля затухают по мере

1 / r^{ℓ + 1}

$1/r^{\ell+1}$ , но мультипольное излучение обычно затухает как

e^{i (k r - ω t)} / r

$e^{i(kr-\omega t)}/r$ , т.е. с затуханием амплитуды, не зависящим от

ℓ

$\ell$ .

Прогноз погоды

@EmilioPisanty ваш комментарий правильный. Я был неточен в вопросе ОП, полагая, что это общеизвестно. Насколько я понимаю, утверждение верно только в пределе большой длины волны (формально этот предел должен быть взят, сохраняя сами моменты постоянными). Тем не менее, во многих случаях это достаточно хорошее приближение.

Эмилио Писанти

@WeatherReport Я не уверен, что предел длинных волн имеет смысл, учитывая то, что вы хотите сделать, потому что длина волны устанавливает нижнюю границу для масштабов длины, которые вы можете разрешить с помощью излучения в большинстве случаев. Для

a

$a$ меньше, чем длина волны, я не уверен, что изменение можно обнаружить, но я хотел бы провести более точный анализ, прежде чем делать выводы.

Эмилио Писанти

Кроме того, технический комментарий: сдвиг магнитного диполя, который вы приводите,

Δ μ = \frac{1}{2 c} a \times \int d V j

$\Delta\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\boldsymbol{a}\times\int dV\, \boldsymbol{j}$ , обращается в нуль для колебательных токов. Однако тот же аргумент справедлив для квадрупольного момента, если не исчезает дипольный вклад.

Прогноз погоды

@EmilioPisanty Ну, в некотором смысле это моя точка зрения. Если моменты высших порядков вообще поддаются обнаружению, то небольшое (по сравнению с длиной волны) смещение начала координат наивно кажется обнаруживаемым.

Прогноз погоды

@EmilioPisanty Нет,

Δ μ \propto a \times d

$\Delta\boldsymbol{\mu}\propto \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{d}$ и не исчезает, пока

a | | d

$\boldsymbol{a}||\boldsymbol{d}$ .

Эмилио Писанти

@WeatherReport Хммм, мне нужно подумать об этом более тщательно. Моя первоначальная реакция была такой: если

j

$\boldsymbol j$ - это комплексная амплитуда монохроматически колеблющегося тока (которой она должна быть в написанном вами формализме), тогда

\int j d V = 0

$\int \boldsymbol{j}dV=0$ , но это неверно для тока в электродипольной антенне. Я предполагаю, что по этой мере антенна E1 со смещением от центра вносит вклад M1? Ну что ж.

Ответы (1)

Зависимость мультипольных моментов от начала координат

Если вы переместите свой объект (переместите начало координат), интенсивность, измеренная в другом месте, изменится, потому что излучающий объект находится дальше (или ближе). Если перемещать излучатель вместе с измерительным прибором, то мультипольные моменты остаются прежними. Насколько я могу судить, здесь нет противоречия. Интенсивность четко определена и не зависит от происхождения, если вы согласны переводить источник и получатель одновременно.
@AccidentalFourierTransform Я не согласен. Эта интенсивность представляет собой общий поток энергии (в секунду) до бесконечности, поэтому на самом деле она не зависит от источника.
Ах да, я говорил глупости. Простите за это.
Можете ли вы привести источники для утверждения, что в радиационном режиме будет преобладать момент ведущего порядка? Это стандартный факт в статическом случае, когда $\ell$ -полярные поля затухают по мере $1/r^{\ell+1}$ , но мультипольное излучение обычно затухает как $e^{i(kr-\omega t)}/r$ , т.е. с затуханием амплитуды, не зависящим от $\ell$ .
@EmilioPisanty ваш комментарий правильный. Я был неточен в вопросе ОП, полагая, что это общеизвестно. Насколько я понимаю, утверждение верно только в пределе большой длины волны (формально этот предел должен быть взят, сохраняя сами моменты постоянными). Тем не менее, во многих случаях это достаточно хорошее приближение.
@WeatherReport Я не уверен, что предел длинных волн имеет смысл, учитывая то, что вы хотите сделать, потому что длина волны устанавливает нижнюю границу для масштабов длины, которые вы можете разрешить с помощью излучения в большинстве случаев. Для $a$ меньше, чем длина волны, я не уверен, что изменение можно обнаружить, но я хотел бы провести более точный анализ, прежде чем делать выводы.
Кроме того, технический комментарий: сдвиг магнитного диполя, который вы приводите, $\Delta\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\boldsymbol{a}\times\int dV\, \boldsymbol{j}$ , обращается в нуль для колебательных токов. Однако тот же аргумент справедлив для квадрупольного момента, если не исчезает дипольный вклад.
@EmilioPisanty Ну, в некотором смысле это моя точка зрения. Если моменты высших порядков вообще поддаются обнаружению, то небольшое (по сравнению с длиной волны) смещение начала координат наивно кажется обнаруживаемым.
@EmilioPisanty Нет, $\Delta\boldsymbol{\mu}\propto \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{d}$ и не исчезает, пока $\boldsymbol{a}||\boldsymbol{d}$ .
@WeatherReport Хммм, мне нужно подумать об этом более тщательно. Моя первоначальная реакция была такой: если $\boldsymbol j$ - это комплексная амплитуда монохроматически колеблющегося тока (которой она должна быть в написанном вами формализме), тогда $\int \boldsymbol{j}dV=0$ , но это неверно для тока в электродипольной антенне. Я предполагаю, что по этой мере антенна E1 со смещением от центра вносит вклад M1? Ну что ж.

Пустота · Answer 1

Рассмотрим сначала разложение электростатического потенциала $\Phi$ в стационарном положении

Φ (\vec{р}) "=" \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р} + \frac{\vec{г} \cdot \vec{р}}{4 π ϵ_{0} р^{3}} + О (р^{- 3})

$\Phi(\vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} + \mathcal{O}(r^{-3})$ Теперь давайте сдвинем наше начало на

\vec{a}, \vec{R} = \vec{r} - \vec{a}

$\vec{a}, \vec{R} = \vec{r} - \vec{a}$ , где

| \vec{a} | ≪ r

$|\vec{a}| \ll r$ . Затем монопольный термин расширяется как

\frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р} "=" \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} | \vec{р} + \vec{а} |} "=" \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р} - \frac{Вопрос (\vec{а} \cdot \vec{р})}{4 π ϵ_{0} р^{3}} + О (р^{- 3})

$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 |\vec{R} + \vec{a}|} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} - \frac{Q(\vec{a}\cdot \vec{R})}{4 \pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$ Дипольный член просто

\frac{\vec{г} \cdot \vec{р}}{4 π ϵ_{0} р^{3}} "=" \frac{\vec{г} \cdot \vec{р}}{4 π ϵ_{0} р^{3}} + О (р^{- 3})

$\frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} = \frac{\vec{d}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$ Теперь давайте посмотрим на весь потенциал

Φ (\vec{р}) "=" Φ (\vec{р}) "=" \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р} + \frac{(\vec{г} - Вопрос \vec{а}) \cdot \vec{р}}{4 π ϵ_{0} р^{3}} + О (р^{- 3})

$\Phi(\vec{r}) = \Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{(\vec{d}-Q\vec{a})\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$ Обратите внимание, что это (в рамках приближения) просто другое описание того же потенциала, что и выше. Другими словами, если вы посмотрите на одну и ту же физическую точку, вы получите одно и то же значение

Φ

$\Phi$ независимо от того, находитесь ли вы в

\vec{r}

$\vec{r}$ координаты или

\vec{R}

$\vec{R}$ координаты.

Теперь обозначим диполь, определенный относительно $\vec{R}$ как $\vec{D}$ и вычислить

\vec{Д} "=" \int р \vec{р} г В "=" \int р \vec{р} г В - \int р \vec{а} г В "=" \vec{г} - Вопрос \vec{а}

$\vec{D} = \int \rho \vec{R} d V = \int \rho \vec{r} d V - \int \rho \vec{a} d V = \vec{d} - Q\vec{a}$ Затем мы видим, что наш смещенный потенциал в

\vec{R}

$\vec{R}$ координаты можно записать как

Φ (\vec{р}) "=" \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р} + \frac{\vec{Д} \cdot \vec{р}}{4 π ϵ_{0} р^{3}} + О (р^{- 3})

$\Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{\vec{D}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$ что в точности соответствует мультипольному расширению, которое вы получили бы, если бы начали с

\vec{R}

$\vec{R}$ координаты в первую очередь.

Т.е. мультипольные разложения ковариантны относительно сдвигов координат. Можно показать, что это применимо ко всем порядкам, где все больше и больше членов стекает от низших порядков к более высоким, и вы даже можете показать ковариантность мультипольного разложения по отношению ко всей группе Пуанкаре (с небольшими сдвигами).

Вы сейчас, наверное, спрашиваете, что тогда происходит с вашей формулой радиации. Хитрость в том, что приведенные вами формулы будут применяться только в инерциальных системах отсчета. В частности, $\vec{a}$ обычно будет постоянная смена. Однако ваша формула излучения применима к величинам колебаний , для которых постоянная $\vec{a}$ будут иметь подчиненные или полностью исчезающие вклады.

Рассмотрим дипольный момент. У нас есть $\vec{D} = \vec{d} - Q\vec{a}$ . Тогда вы видите, что с тех пор $\dot{Q} = \dot{a} = 0$ , у нас есть $\dot{D} = \dot{d}$ и в формуле излучения нет дополнительного члена, возникающего из-за сдвига.

Что касается дипольного магнитного момента, то имеем

{\vec{мю}}^{'} "=" \vec{мю} + \frac{1}{с} \vec{а} \times \int \vec{Дж} г В

$\vec{\mu}' = \vec{\mu} + \frac{1}{c}\vec{a} \times \int \vec{j}\, dV$ Это несколько более сложный аргумент, почему лишний термин будет подчиненным.

Сначала перепишем в виде двойного интеграла, используя теорему о расходимости

\int {Дж}_{я} (\vec{р}) г В (\vec{р}) "=" \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{{Икс}_{я} "=" с о н с т .} \vec{Дж} \cdot г \vec{С}) г {Икс}_{я} "=" \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{{Икс}_{я} "=" с о н с т .} \nabla \cdot \vec{Дж} ({\vec{р}}^{'}) г В ({\vec{р}}^{'})) г {Икс}_{я}

$\int j_i (\vec{R}) \, dV(\vec{R}) = \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{x_i=const.} \! \!\!\! \vec{j} \cdot d \vec{S} \right) d x_i = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^{x_i =const.} \! \! \! \nabla \cdot \vec{j}(\vec{R}') d V(\vec{R}') \right) d x_i$ То есть воспользуемся тем, что интеграл от

j_{i}

$j_i$ над поверхностью постоянной

x_{i}

$x_i$ можно также записать как дивергенцию в объеме, ограниченном

x_{i} = c o n s t .

$x_i = const.$ (предполагая, конечно, что токи исчезают вне тела, поэтому вклады от других границ просто равны нулю). Теперь воспользуемся уравнением неразрывности

\nabla \cdot \vec{j} = - \partial ρ / \partial t

$\nabla \cdot \vec{j} = - \partial \rho/\partial t$ наконец выразить

{\vec{мю}}^{'} "=" \frac{1}{с} \int \vec{р} \times \vec{Дж} г В "=" \frac{1}{с} \int \vec{р} \times \vec{Дж} г В - \frac{1}{с} \vec{а} \times \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\vec{Икс}} \frac{\partial р}{\partial т} г В) г \vec{Икс}

$\vec{\mu}' = \frac{1}{c}\int \vec{R} \times \vec{j} dV = \frac{1}{c}\int \vec{r} \times \vec{j} dV - \frac{1}{c}\vec{a} \times \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^{\vec{x}} \! \frac{\partial \rho} {\partial t} d V \right) d \vec{x}$ (Если вы не уверены в том, что означает векторное произведение, просто запишите выражения, используя символ Леви-Чивиты и компоненты.) Теперь предположим, что у нас есть

ρ = ρ_{0} + ρ_{o s c} e^{i ω t}

$\rho = \rho_0 + \rho_{osc} e^{i\omega t}$ и

\vec{j} = {\vec{j}}_{0} + {\vec{j}}_{o s c} e^{i ω t}

$\vec{j} = \vec{j}_{0} + \vec{j}_{osc} e^{i\omega t}$ , где

ρ_{0}, ρ_{o s c}, {\vec{j}}_{0}, {\vec{j}}_{o s c}

$\rho_0, \rho_{osc},\vec{j}_0 ,\vec{j}_{osc}$ являются функциями только положения. Тогда мы видим, что

{\vec{мю}}_{о с с}^{'} "=" {\vec{мю}}_{о с с} - \frac{ю}{с} \vec{а} \times \vec{Δ}

$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} - \frac{\omega}{c}\vec{a}\times \vec{\Delta}$ где

{\vec{μ}}_{o s c} = \int {\vec{j}}_{o s c} \times \vec{r} d V

$\vec{\mu}_{osc} = \int \vec{j}_{osc} \times \vec{r} dV$ , и

\vec{Δ} = \int (\int^{\vec{x}} ρ_{o s c} d V) d \vec{x}

$\vec{\Delta} = \int (\int^\vec{x} \rho_{osc} dV) d\vec{x}$ . С

{\vec{d}}_{o s c} = \int ρ_{o s c} \vec{r} d V

$\vec{d}_{osc} = \int \rho_{osc} \vec{r} dV$ , Мы будем иметь

\vec{Δ} \sim \vec{d}

$\vec{\Delta} \sim \vec{d}$ и мы наконец можем написать

{\vec{мю}}_{о с с}^{'} "=" {\vec{мю}}_{о с с} + О (\frac{ю}{с} а г_{о с с})

$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} + \mathcal{O}( \frac{\omega}{c} a \,d_{osc} )$ Т.е. сдвиг индуцирует только субведущую коррекцию.

Суть аргумента в том, что если у вас есть тело, из которого не выходят токи, то ненулевое $\int \vec{j} dV$ соответствует изменению плотности заряда где-то внутри тела ( $\partial \rho/\partial t \neq 0$ ). Однако при стационарных колебаниях это соответствует более высокому члену. $\omega$ мощность по сравнению с $\mu$ колебание.

Причина в следующем: ток имеет размеры $[Charge \cdot distance / time]$ , масштаб заряда определяется общим зарядом в теле, расстояние - размерами тела, а время - 1) временем прохождения заряженной частицы в теле и 2) временем колебания зарядов. Термин $\int \vec{r} \times \vec{j} dV$ улавливает этот «пересекающийся ток», величина которого не зависит от $\omega$ , но термин $\vec{a} \times \int \vec{j} dV$ фиксирует только $\omega$ - пропорциональный колебательный ток.

Я согласен с тем, что конечным результатом анализа должна быть формула вида $\vec{\mu}'_{oscill} = \vec{\mu}_{oscill}(1 + \mathcal{O}(\omega))$ . Однако мне непонятно, как вы его получили. Разве ваши размерные аргументы не могут быть превращены в более строгий вывод? Если я прав, ваш аргумент сводится к тому, что выражения $\int \vec{R} \times \vec{j} dV$ и $\vec{a} \times \int \vec{j} dV$ масштабировать по-разному с $\omega$ , но как это посеять на самом деле?
@WeatherReport Я добавил аргумент. Кстати, я думаю $\int \vec{j} dV$ или $\vec{\Delta}$ даже напрямую связаны с колебательным дипольным моментом (равны?), но я не могу найти связь прямо сейчас.
Я думаю, что вы только что показали, что $\Delta\boldsymbol{\mu}$ уступает по сравнению с $\boldsymbol{d}$ . Но это общее и справедливо и для оригинала. $\boldsymbol{\mu}$ . Так что они все еще могут быть одного порядка. Пожалуйста, посмотрите пример, который я добавил в OP, который, я надеюсь, ясно иллюстрирует мои трудности.
Это, конечно, полностью соответствует; если у вас есть описание источника, действительное для дипольного порядка, ваши результаты будут действительными (инвариантными) для дипольного порядка. Другими словами, если вы думаете, что можете описать излучение объекта с высокой мультипольной точностью, используя только информацию об электрическом диполе, то нет, вы не можете .
То, о чем я говорю в ответе, является магнитным дипольным колебанием, которое в принципе имеет вклад того же порядка , что и дипольное колебание. Представьте себе маленькую петлю с постоянным током. Эта петля будет иметь нулевой электрический диполь. Теперь заставьте этот постоянный ток колебаться по всей петле. По-прежнему не задействован электрический диполь, но появится магнитное дипольное излучение.
Извините, я не слежу. Вы действительно хотите показать, что $\Delta\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\int dV [\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{j}]$ для любой константы $\boldsymbol{a}$ всегда является субведущим для колебательных токов по сравнению с $\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\int dV [\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{j}]$ , верно?
К сожалению, срок действия награды почти истек, хотя я не считаю проблему решенной.

Зависимость мультипольных моментов от начала координат

Прогноз погоды

СлучайныйПреобразование Фурье

Прогноз погоды

СлучайныйПреобразование Фурье

Эмилио Писанти

Прогноз погоды

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Прогноз погоды

Прогноз погоды

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Пустота

Прогноз погоды

Пустота

Прогноз погоды

Пустота

Пустота

Прогноз погоды

Прогноз погоды

Может ли квадруполь образоваться в чисто органическом кристаллическом материале?

Почему монополь не излучает энергию в электродинамике?

Почему диполь является простейшим источником в электродинамике?

Как колеблется электрический квадруполь?

Почему в эксперименте с двумя щелями всегда есть яркая полоса под нулевым углом?

Может ли измениться характер ЭМ волны после взаимодействия с каким-либо аппаратом?

Использование сложной экспоненты для представления волн в EM [дубликат]

Распространение механических волн в вакууме

2 способа генерировать электромагнитную волну

Почему инфракрасное излучение не проходит сквозь предметы?