Почему диполь является простейшим источником в электродинамике?

Наименьшая излучающая единица – это ускоряющий дипольный момент . Это, конечно, может быть произведено с помощью ускоренного одиночного заряда, который можно сделать эквивалентным колеблющемуся диполю.

$$\ddot{p} = q\ddot{r},$$ куда $r$представляет собой смещение заряда вокруг некоторой реперной точки.

Вы не получите поле излучения, если заряженная частица не ускоряется, и поэтому «источник» излучения должен иметь конечный размер. Для синусоидального колебания амплитуды ускорения${a_0}$, куда$\ddot{r}= a_0\sin \omega t$, то этот размер$a_0/\omega^2$.

Вы правы в том, что в электродинамике единственными реальными источниками излучения являются неравномерно движущиеся заряды. Однако, когда вы решаете потенциалы, вы получаете некоторые сложные выражения, так называемые потенциалы Лиенара-Вихерта , для которых поля становятся очень сложными выражениями при вычислении из них. Более того, разложение произвольной системы с заданными зарядами и плотностями тока на различные движущиеся точечные заряды становится еще более сложным. Вытекающие из них трудности заключаются в том, что для вычисления векторного потенциала в точке$r$и вовремя$t$, вы должны интегрировать по конкретным запаздывающим позициям источников во все прошлые времена. Поэтому недостаточно знать, например, положения и скорости зарядов в текущий момент времени (как этого достаточно в классической механике). По сути, эта процедура учитывает все источники, находящиеся на световом конусе (половине прошедшего времени).

Тем не менее, с них можно было бы начать. Мы будем следовать здесь по существу обсуждению Дж. Д. Джексона, Классическая электродинамика [Глава 9 в 3-м издании].

Запаздывающий векторный потенциал читается (без учета почти всех констант)

$$\mathbf A(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \int \mathrm dt' \frac{\mathbf j(\mathbf r',t')}{|\mathbf{r-r'}|} \delta(t'-t+|\mathbf{r-r'}|/c),$$ где $\delta$-функция заботится об упомянутом интегрировании по световому конусу, где выбор знаков в аргументе обеспечивает причинность решения.

Для заданных распределений тока и заряда можно в принципе вычислить поля. Теперь предполагается, что источники имеют определенную временную зависимость (например,$\mathrm e^{-\mathrm i \omega t}$) и что они ограничены небольшой областью в пространстве. Малый означает здесь, что можно связать длину волны$\lambda$зависимости от времени,$\lambda =2 \pi c /\omega$, и что исходные размеры$d$намного меньше этой длины волны,$d \ll \lambda$.

Это приводит к трем различным пространственным областям:

1. ближняя зона:$d \ll r \ll \lambda$,
2. промежуточная зона:$d \ll \lambda \approx r$,
3. дальняя зона:$d \ll \lambda \ll r$.

Получается, что поля имеют разные свойства в трех регионах. Интерес представляет здесь только последний режим, когда размерами источника можно пренебречь (если не заботиться о точности, позволяющей различать эффекты поля в точке$\mathbf r$и точка, расположенная на расстоянии меньшем, чем$d$рядом с$\mathbf r$; вот какое предположение$d \ll \lambda$для).

Затем мы можем аппроксимировать колеблющийся движущийся точечный заряд, чтобы он описывался плотностью тока, расположенной в одной точке.$\mathbf r_0$с гармонической зависимостью от времени в виде

$$\mathbf j (\mathbf r,t) = \mathbf j (\mathbf r) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} = \mathbf j_0 \delta(\mathbf{r-r_0}) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} .$$ Тот факт, что плотность тока точечного заряда можно записать в виде $\delta$-функция не важна, мы могли бы также скрыть некоторые расширенные текущие $\mathbf j(\mathbf r)$пока он достаточно мал в соответствии с приведенными выше соображениями. Тогда векторный потенциал становится после оценки $t$интеграция и $\delta$-функция, $$\mathbf A(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \frac{\mathbf j(\mathbf r')}{|\mathbf{r-r'}|} \mathrm e^{\mathrm i k |\mathbf{r-r'}|} e^{-\mathrm i \omega t},$$ с $k=\omega/c$.

Второе приближение состоит в том, что путем расширения вектора расстояния по экспоненте на

$$|\mathbf{r-r'}| \approx r + \mathbf n \cdot \mathbf r' ,$$ а для обратного расстояния по степеням $1/r$(обычное многополюсное расширение), $$\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} = \frac{1}{r} + \frac{\mathbf r \cdot \mathbf r'}{r^3} + \dotsb,$$ мы сохраняем только самый низкий порядок. Может показаться странным сохранять разные порядки в показателе степени и в знаменателе; в экспоненте у нас есть информация о фазе, которая имеет вариацию порядка $\lambda$, а аппроксимация порядка $d$; в ряду знаменателя имеем члены $\sim 1/r^2$, которым можно пренебречь по сравнению с термином $\sim 1/r$за $r \rightarrow \infty$.

Получим векторный потенциал вида

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') \mathrm e^{-\mathrm i k \mathbf{n \cdot r'}} ,$$ т.е. векторный потенциал ведет себя как сферические волны, которые дают поперечные волны для полей. Вы можете расширить экспоненциальное, $$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \sum_n \frac{(-\mathrm i)^n}{n!} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') (k \mathbf{n \cdot r'})^n.$$

$\mathbf{n \cdot r'}$находится в порядке$d$, таким образом$kd \ll 1$; это означает, что все члены более высокого порядка становятся меньше с более высоким$n$(обратите внимание на$1/n!$фактор), так что первый ненулевой член является доминирующим вкладом.

Поэтому, если мы сохраним только первый член этого разложения, мы получим

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') .$$ Используя уравнение неразрывности, $$- \mathrm i \omega \rho + \nabla \cdot \mathbf j =0,$$ и интегрирование по частям по каждой координате отдельно, $$\int \mathrm d^3r' \mathbf j = - \int \mathrm d^3r' \mathbf r' (\nabla \cdot \mathbf j ) = - \mathrm i \omega \int \mathrm d^3r' \mathbf r' \rho (\mathbf r') = - \mathrm i \omega \mathbf p ,$$ куда $\mathbf p = \int \mathrm d^3r' \mathbf r' \rho (\mathbf r')$является определением дипольного момента.

Следовательно, векторный потенциал имеет вид

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = - \mathrm i \omega\frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \mathbf p ,$$ из которых можно вычислить поля. Рассчитанное таким образом электрическое поле имеет в точности вид поля идеального диполя (но колеблющегося во времени).

Мы также должны проанализировать запаздывающий скалярный потенциал:

$$\phi(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \int \mathrm dt' \frac{\rho(\mathbf r',t')}{|\mathbf{r-r'}|} \delta(t'-t+|\mathbf{r-r'}|/c).$$ Монопольный вклад получается заменой $|\mathbf{r-r'}|$просто по $r$, такой, что $$\phi_{\mathrm m}(\mathbf r,t) = q (t-r/c)/r ,$$ куда $q(t)$общий заряд как функция времени. Но это, как уже было сказано , сохраняется, так что скалярный потенциал обязательно статичен .

Реферат: Поля движущегося заряда в дальнем поле можно аппроксимировать полем диполя.

---

В качестве альтернативы можно рассмотреть более реальный способ расчета излучения от произвольных источников.

Заявление в примечаниях к первой предоставленной вами ссылке сделано в контексте формализма функций Грина , который обсуждается в разделе 6.1. Напомним, что функция Грина — это решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (при заданных граничных условиях), где источником (= неоднородной частью) является$\delta$-функция. Любое другое неоднородное решение может быть легко получено с помощью принципа суперпозиции путем интегрирования (т.е. суммирования) функции Грина, умноженной на неоднородное решение.

Итак, автор ищет функцию Грина для решения уравнений Максвелла, которые, находясь в калибровке Лоренца, преобразуются путем разделения переменных (переменная времени отделена и поэтому не фигурирует в дальнейшем) в два уравнения Гельмгольца. , один для векторного потенциала и один для скалярного потенциала (без учета всех констант)

$$[\nabla^2 + k^2] \phi (\mathbf{r}) = - \rho(\mathbf{r}) ,$$ $$[\nabla^2 + k^2] \mathbf A (\mathbf{r}) = - \mathbf j(\mathbf{r}) .$$ Неоднородной частью этих уравнений Гельмгольца являются источники, т.е. плотности заряда и тока.

Итак, для функций Грина мы ищем решение этих неоднородных линейных дифференциальных уравнений в свободном пространстве, где плотности заряда и тока описываются дельта-функциями, то есть уравнениями вида

$$[\nabla^2 + k^2] G (\mathbf{r}, \mathbf r') = - \delta(\mathbf{r-r'}) .$$

Теперь наступает решающий момент: автор выражает в уравнении. 6.20 плотность тока$\mathbf j(\mathbf r,t)$нестационарного диполя с помощью дельта-функции,

$$\mathbf j (\mathbf r, t) = \delta(\mathbf{r-r_0}) \frac{\partial}{\partial t} \mathbf p(t),$$ куда $\mathbf p(t)$- зависящий от времени дипольный момент, а $\mathbf r_0$это расположение диполя. Таким образом, функция Грина может быть повторно выражена (между уравнениями 6.24 и 6.24) через математический дипольный момент.

Обратите внимание, что существует разница между физическим диполем, который представляет собой два фактических заряда, разделенных конечным расстоянием, и идеальным диполем, который бесконечно мал и, следовательно, находится в одной точке!

Для формализма функций Грина нежелательно иметь в качестве источника «ускоряющие» (или «движущиеся») дельта-функции. Как бы вы решили это? Вероятно, это возможно, но это сделало бы вещи просто ненужными — вы не могли бы провести разделение переменных, чтобы получить уравнения Гельмгольца. Таким образом, вы ограничиваетесь стационарным зарядом и плотностью тока, что исключает ускоряющий заряд. У вас слева зависящие от времени, но стационарные плотности тока и заряда (точнее: зависимость от времени и пространственная зависимость должны быть такими, чтобы их можно было записать как независимые факторы, например$\rho(\mathbf r,t) = \rho_0(\mathbf r) R(t)$); зависящая от времени плотность заряда привела бы только к запаздывающему скалярному электрическому потенциалу (и это нарушило бы сохранение заряда , как упоминалось в другом ответе ), что дало бы флуктуирующее электрическое поле, которое не является электромагнитной волной. Однако зависящая от времени плотность тока может вызывать электромагнитные волны при условии, что временная зависимость имеет правильную форму (т. е. гармонические колебания).

Поскольку плотность тока идеального диполя принимает форму дельта-функции, мы можем идентифицировать идеальный диполь как источник функции Грина электромагнитного излучения в свободном пространстве.

Более того, поскольку теперь вы можете разложить произвольную плотность тока на непрерывное распределение идеальных диполей, вы можете рассчитать диаграмму направленности любого распределения токов, просто интегрируя функции источника, умноженные на функцию Грина.

---

Вы можете сравнить это с функцией Грина в электростатике. У вас есть уравнение Пуассона (без учета констант),

$$\nabla^2 \phi (\mathbf r) = - \rho (\mathbf r) .$$

Функция Грина$G(\mathbf{r,r'})$будет решением уравнения

$$\nabla^2 G (\mathbf{ r,r'}) = - \delta(\mathbf{ r-r'}) ,$$ для которого решение в свободном пространстве (граничные условия меняют функцию Грина) есть $$G (\mathbf{ r,r'}) = \frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} .$$ Затем вы сравниваете это с потенциалом одиночного точечного заряда и обнаруживаете, что они имеют одинаковую функциональную зависимость. Таким образом, вы определяете точечные заряды как основной источник электростатического поля.

---

В заключение: тот факт, что функция Грина уравнения Гельмгольца может быть повторно выражена через плотность тока идеального диполя, делает правдоподобным определение идеального диполя как основного элемента электромагнитного излучения.

Причина проста: колеблющееся монопольное поле в области, изолированной от токов , нарушило бы закон сохранения заряда. Обратите внимание, что монопольное поле — это не то же самое, что колеблющийся монопольный заряд, который, как обсуждает ответ Роба Джеффриса , фактически создает диполярное поле.

Позволять$(r,\,\theta,\phi)$- стандартные сферические координаты с соответствующим ортонормированным базисом$(\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}})$, каждая из которых указывает в направлении увеличения соответствующей координаты.

Тогда монополярное электрическое поле имело бы функциональную форму:

$$\mathbf{E} = f(r,\,t)\,\boldsymbol{\hat{n}}(r,\,t)$$

где величина$f$и направление$\boldsymbol{\hat{n}}$зависеть только от$r$и время$t$.

Во-первых, теорема о волосатом шаре; см. например :

Тайлер Джарвис и Джеймс Тантон, «Теорема о волосатом шаре через лемму Спернера», амер. Мат. Ежемесячно , 111 , № 7, стр. 599-603, 2004 г.

запрещает любое$\theta$- а также$\phi$-независимое векторное поле$\boldsymbol{\hat{n}}$с$\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}}$составные части. Итак, мы знаем, что наше монопольное поле должно иметь вид:

$$\mathbf{E} = f(r,\,t)\,\boldsymbol{\hat{r}}$$

Но теперь рассчитаем поток$\mathbf{E}$через сферу$r=r_0$. Ответ и его подразумеваемый содержащийся заряд по закону Гаусса таковы:

$$\Phi_E = 4\,\pi\,r_0^2\, f(r,\,t) = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

что нарушает закон сохранения заряда, если только заряд не меняется со временем или если при всех значениях$r$(это не то, что мы имеем в виду, когда говорим об излучающем монополе). Таким образом, единственным возможным монополярным полем в диэлектрической среде является электростатическое поле от одиночного изолированного заряда или сферически-симметричного центрального распределения заряда.

Если вы хотите говорить только об дальнем поле, то одна лишь теорема о волосатом шаре исключает тангенциальные монополярные электрические и магнитные поля, которые локально подобны плоским волнам. Должен быть какой-то$\theta$а также$\phi$зависимость.

Этот ответ обобщает ответ Роба Джеффриса , который начинается с рассмотрения простейших движений изолированного заряда, т.е. сохранение заряда выполняется в его ответе по построению.