Земля вращается за более короткое время на высоте 0 м, чем на высоте 5000 м?

Это забавный расчет, так что давайте попробуем. Что нам нужно сделать, так это рассчитать замедление времени для наблюдателя, вращающегося вместе с Землей, и посмотреть, как оно меняется с высотой.

Для этого начнем с геометрии пространства-времени вблизи Земли, которая (приблизительно) описывается метрикой Шварцшильда:

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{2GM}{c^2r}} - r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2\right) \tag{1}$$

$\tau$это время, записанное часами, которые несут наш вращающийся наблюдатель, и$t$это время, записанное часами, которые наблюдатель несет на достаточном расстоянии от Земли, чтобы гравитацией Земли можно было пренебречь. Тогда замедление времени равно:

$$\text{time dilation} = \frac{d\tau}{dt}$$

так что это то, что мы собираемся вычислить.

Рассмотрим наблюдателя, который неподвижен на экваторе, поэтому$\theta=\pi/s$и$d\theta=0$, и на расстоянии$r$от центра Земли. Наблюдатель не движется радиально внутрь или наружу, поэтому$dr=0$. Если мы поместим этот лот в уравнение (1), оно упростится до:

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 - r^2d\phi^2 \tag{2}$$

Нам нужно устранить$d\phi$и мы делаем это, отмечая, что если$\omega$- угловая скорость, с которой вращается Земля, тогда:

$$\frac{d\phi}{dt} = \omega$$

и поэтому:

$$d\phi = \omega dt$$

И мы можем заменить$d\phi$в уравнении (2), чтобы получить:

$$c^2d\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 - r^2\omega^2dt^2$$

И это дает нам уравнение, которое мы хотим для замедления времени:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\left(\frac{2GM}{c^2r} + \frac{r^2\omega^2}{c^2}\right)} \tag{3}$$

А уравнение (3) и есть тот результат, который нам нужен. По мере продвижения вверх, т.е. в сторону увеличения$r$, то срок$2GM/c^2r$уменьшается и срок$r^2\omega^2/c^2$увеличивается, и вопрос в том, что происходит с суммой:

$$T = \frac{2GM}{c^2r} + \frac{r^2\omega^2}{c^2}$$

Если$T$увеличивается с высотой (увеличение$r$), то замедление времени увеличивается по мере того, как мы поднимаемся вверх, а если$T$уменьшается с высотой, то замедление времени уменьшается по мере подъема. Чтобы узнать, что происходит, мы просто дифференцируем по отношению к$r$:

$$\frac{dT}{dr} = -\frac{2GM}{c^2r^2} + \frac{2r\omega^2}{c^2} \tag{4}$$

Радиус Земли на экваторе равен$r \approx 6378000$м, а угловая скорость$2\pi$радиан за 24 часа, поэтому$\omega \approx 7.272 \times 10^{-5}$радиан в секунду. Подставляем эти значения в уравнение (4) и получаем:

$$\frac{dT}{dr} \approx -2.176 \times 10^{-16} + 7.496 \times 10^{-19} \approx -2.169 \times 10^{-16}$$

И вот ваш ответ. На поверхности Земли замедление времени для наблюдателя, вращающегося вместе с Землей, уменьшается с высотой, т.е. время течет быстрее, когда вы движетесь вверх. Земле требуется больше времени, чтобы вращаться для более высокого наблюдателя.

Земля вращается за более короткое время на высоте 0 м, чем на высоте 5000 м?

Нет. Если бы это было так, это было бы скручивание, а это не так. Скорость вращения Земли относительно неподвижных звезд одинакова на всех высотах. Точке на уровне моря требуется один день, чтобы совершить полный круг, и столько же времени нужно, чтобы точка на высоте 5000 м совершила полный круг.

Мы знаем, что период вращения Земли (звездные сутки) составляет 86164,098 903 691 секунды среднего солнечного времени. Предполагается, что на высоте 0 м время более растянуто, чем на высоте 5000 м, из-за гравитационного замедления времени.

Это. Часы идут медленнее, когда они ниже.

Тогда гипотетически мы считаем меньше наносекунд на высоте 0 м по сравнению с высотой 5000 м.

Не только гипотетически. См. интервью с Дэвидом Вайнлендом из NIST, где он говорит об оптических часах: «Если одни часы в одной лаборатории на 30 сантиметров выше, чем часы в другой лаборатории, мы можем увидеть разницу в скорости их хода» .

Тогда, если предположить, что это правда, звездный день короче на 0 м, чем на 5000 м.

Да, хотя это техническая особенность. Ваши часы идут медленнее, когда вы ниже, поэтому ваши измерения отличаются. Тем временем Земля вращается в свое сладкое время с одинаковой скоростью на всех высотах.

Разве это не означает, что мы ощущаем более быстрое вращение Земли на высоте 0 м, чем на высоте 5000 м? Более быстрое вращение в расширенном кадре?

Да, это так. Но это наше восприятие. Земля на самом деле не вращается быстрее на высоте 0 м. Кроме того, разница, которую мы воспринимаем, очень незначительна. Гравитационное замедление времени на поверхности Земли составляет всего одну часть на 10 ^-9 . Мы почти не замечаем его, хотя нам необходимо учитывать его в наших спутниках GPS . Для нейтронной звезды это гораздо важнее. Часы на поверхности нейтронной звезды будут идти примерно в 0,8 раза быстрее, чем часы на поверхности Земли.