Как понять лагранжиан Дирака?

У меня есть несколько основных вопросов о том, как интерпретировать лагранжианы, давайте начнем с Дирака:

л "=" Ψ ¯ ( я γ мю ∂ мю − м ) Ψ ,

где Ψ это Дирак-Спинор, м это масса, γ мю является гамма-матрицей и ∂ мю является производной.

1) Есть м вектор или матрица или скаляр? Я всегда думал, что это скаляр, но почему-то Ψ ¯ м Ψ допускается в лагранжиане, но м Ψ ¯ Ψ не является, поэтому он не может быть скаляром! РЕДАКТИРОВАТЬ m является скаляром и может быть где угодно в уравнении Дирака, но эти термины недействительны для Стандартной модели!

2) Что именно нарушается, чтобы м Ψ ¯ Ψ не допускается? Разве он не инвариантен относительно чего-то? РЕДАКТИРОВАТЬ эти термины недействительны для стандартной модели, потому что они не являются калибровочно-инвариантными!

3) Я всегда думал, что спинор Дирака содержит все возможные для фермиона два спиновых состояния для частицы и два спиновых состояния для античастицы. Верно ли это предположение?

4) Зачем нам нужен Ψ ¯ ? Что это означает? Частицы и античастицы поменялись местами? Или моя интерпретация в 3) неверна и Ψ представляет собой частицу и Ψ ¯ и античастица.

5) Уравнение Дирака описывает свободный массивный фермион, движущийся сквозь пространство и время. Ψ ¯ указать взаимодействие?

Я пытался понять это из википедии, но у меня ничего не вышло. Будем признательны за любой ответ на любой из вышеперечисленных вопросов.

Кто так говорит Ψ ¯ Ψ не разрешено? м является скаляром, поэтому вы можете поместить его куда угодно.
Упражнение по квантовой теории поля утверждает следующее: «Следующие термины не разрешены в лагранжиане Стандартной модели. Для каждого термина кратко объясните, почему. 1) м Ψ ¯ Ψ ", а затем еще несколько лагранжевых членов...
Я думаю, вы неверно истолковали утверждение упражнения. @ Хавьер прав.
Где? В каком контексте? Где они, возможно, говорят о калибровочной инвариантности?
@Alex Это что-то совершенно другое. Для общего фермиона Дирака вы можете написать м Ψ ¯ Ψ . В стандартной модели вы не можете, потому что это нарушает калибровочную инвариантность. Обратите внимание, что вы не можете писать Ψ ¯ м Ψ либо по той же причине.
@knzhou Я думал, что уравнение Дирака является частью Стандартной модели? Что будет разрешено в стандартной модели?
Стандартная модель включает безмассовые фермионные поля, которые приобретают «эффективную массу» за счет взаимодействия с полем Хиггса.
@J.Murray J.Murray Таким образом, в основном каждый термин с массой будет нарушать калибровочную инвариантность и, следовательно, не будет частью Стандартной модели?
Да все верно.
@ J.Murray J.Murray Является ли уравнение Дирака частью электрослабой теории, или я здесь что-то путаю?
Если вы изучаете физику элементарных частиц, я настоятельно рекомендую приобрести хорошую книгу, например «Введение в элементарные частицы» Гриффитса. Всё понятно объясняет. Выучить этот материал из Википедии действительно сложно, потому что во многих статьях используются противоречивые соглашения, а некоторые просто ошибочны.
Возможно, вы смешиваете идеи псевдорелятивистской квантовой механики, основанной на частицах, с действительно релятивистской квантовой теорией поля.
Я не хожу на курсы, я просто пытаюсь учиться сама... Спасибо всем, кто ответил хотя бы на некоторые мои вопросы, может быть вы знаете ответы и на другие?

Ответы (1)

Кстати, это не уравнение Дирака, а лагранжиан/действие Дирака.

1) м является скаляром. Массовые термины для фермионных полей разрешены в Стандартной модели, вы путаете массовые термины для калибровочных полей, которые не разрешены сами по себе, но появляются из-за спонтанного нарушения симметрии (механизм Хиггса).

2) м Ψ Ψ ¯ допускается, так как любое изменение фазы (локальное или глобальное) отменяется. Вы опять путаете массовый термин с калибровочным полем м А мю А мю . Это нарушило бы калибровочную инвариантность, А мю → А мю + ∂ мю Λ .

РЕДАКТИРОВАТЬ Два приведенных выше ответа верны для лагранжианов Дирака и электромагнитных взаимодействий, как указано в вопросе. При наличии слабого взаимодействия на фермионы воздействуют по-разному в зависимости от их хиральности. Затем это вводит массовый член, зависящий от калибра, сохраняемый только механизмом Хиггса.

3) Нет, это всего лишь уравнение движения для фермиона со спином 1/2. Если построить оператор спина С 2 , вы обнаружите, что собственные значения равны 3 4 ℏ 2 , соответствующий С ( С + 1 ) с С "=" 1 / 2 .

Для фермионов со спином 3/2 уравнение такое и т. д.

4) Как интерпретируется комплексно-сопряженное число? На самом деле, вы просто составляете любой член в лагранжиане, который дает вам правильное уравнение Дирака (при применении уравнений Эйлера-Лагранжа), которое, как вы знаете, правильно из эксперимента.
Вы всегда можете обосновать форму лагранжиана, например, имея Ψ Ψ ¯ означает, что у вас есть локальная и глобальная фазовая инвариантность, и что результирующий потенциал ∝ Ψ 2 имеет минимум, что приводит к устойчивой теории поля.

5) Ψ ¯ не является взаимодействием. Уравнение Дирака — это уравнение, которому подчиняется свободный массивный фермион со спином 1/2. Или, правильнее сказать, оператором поля (при этом я провожу различие между релятивистским квантовым механизмом и квантовой теорией поля).

Обратите внимание, что вы можете просто установить массу на 0 , и вы получите так называемые фермионы Вейля .

Чтобы получить взаимодействия, вам нужны нелинейные термины.

Тот, который обычно приходит, это ∝ Дж мю А мю "=" Ψ γ мю Ψ ¯ А мю , где А мю – электромагнитный измерительный потенциал. Этот член не является линейным и представляет собой взаимодействие между фермионом со спином 1/2 Ψ и векторный бозон со спином 1 А мю .

Вы также можете заставить два разных фермиона взаимодействовать, используя термин, который выглядит как Ψ 1 ⋅ Ψ 2 , где оба подчиняются своему индивидуальному уравнению Дирака.

Википедия действительно плоха для этого материала, если вы уже примерно не знаете, что происходит, я бы порекомендовал посмотреть любую серию лекций для студентов по теории калибровочных полей. Кембриджский вполне хорош.

Спасибо за ваш ответ! Я читал больше, и меня немного смущают некоторые утверждения: 1) + 2) Это обсуждалось в комментариях, но я на самом деле думаю, что массовые термины действительно не разрешены в СМ, если они не содержат Скаляр Хиггса. Этот член его не содержит, более того, он не является калибровочно-инвариантным, что является требованием СМ.
3) Я думаю, что вы ответили на другой вопрос здесь. Ψ является спинором, а не уравнением. Мои вопросы касались записей спинора. 4) Ψ ¯ это не комплексное сопряжение, это эрмитово сопряжение, умноженное на γ 0 матрица Ψ ¯ "=" Ψ † γ 0 , и я не понимаю этот объект, но я понимаю аргумент в пользу создания объекта, чтобы уравнение работало ... В этом поле сопряжение заряда, кажется, имеет обозначение Ψ * . 5) Итак, хотя у нас есть два Ψ s в лагранжиане только один фермион взаимодействует с фотоном А мю ?
1) + 2), извините - но нет. Любой массовый член для ψ не нарушит калибровочную инвариантность. Я не знаю вашего уровня и того, сколько вы уже знаете, но «калибровочная» инвариантность здесь просто означает «фазовую» инвариантность, и тривиально увидеть, что м Ψ ¯ Ψ остается инвариантным при любом глобальном или локальном фазовом преобразовании в терминах любого U ( Н ) . Теперь, если вы начали с кинетического лагранжиана Дирака + потенциала Хиггса, то, конечно, массовый член выпадет естественным образом, с м коэффициент в терминах связи Хиггса г и ВЭВ.
Но ничто не мешает вам включить м Ψ ¯ Ψ термин для начала, просто лучше получить его из потенциала Хиггса. Однако вам не разрешено вводить массовый член для калибровочного поля со спином 1. А мю , и м А мю А мю не инвариантно относительно калибровочного преобразования А мю → А мю + ∂ мю Λ как вы можете тривиально показать. Однако тот факт, что слабые калибровочные бозоны имеют массу, означает, что здесь нам нужен механизм Хиггса, чтобы получить массовый член.
3) Тогда я неправильно понял ваш вопрос, прошу прощения. Он имеет 4 степени свободы, интерпретируемые как вращение ВВЕРХ и вращение ВНИЗ, электрон и позитрон.
4) я знаю, что такое сопряженное Ψ ¯ то есть я пытался провести аналогию с более простой ситуацией. В (нерелятивистской) квантовой механике волновая функция ψ имеет сохраняющийся заряд ∝ | ψ | 2 , который, как вы знаете (я предполагаю), относится к плотности вероятности. Как вы формируете | ψ | 2 от ψ ? С ψ † , отсюда и моя точка зрения о физическом смысле - это математическое требование. Сопряжение возникает по тем же причинам, вы знаете, что сохраняющийся заряд здесь - это плотность заряда и ток заряда, продолжение...
--> так что вы строите свой инвариант так, чтобы дать вам эти ответы, отсюда и введение множителя γ 0 который на самом деле не служит никакой другой цели, поскольку Ψ † Ψ также даст вам скаляр.
5) Я не понимаю вашего комментария. Взаимодействия возникают только тогда, когда у вас есть нелинейные члены между различными полями (спинор, вектор или что угодно). Ψ ¯ это не другая область, чем Ψ , это то же самое, так что Ψ ¯ Ψ не считается термином взаимодействия.
(Я не согласен с некоторыми вещами в комментариях к вашему вопросу, поэтому я не хочу ссылаться ни на один из них - я думаю, что некоторые моменты только добавляют вам путаницы).
Я должен, вероятно, добавить для полноты, поскольку мне только что пришло в голову, что в случае недираковских только лагранжианов, тогда действительно верно, что м Ψ ¯ Ψ не является калибровочно-инвариантным, если только он не исходит из механизма Хиггса. Однако это верно только в контексте слабого взаимодействия, поскольку то, что измеряет инвариантность винтами, - это оператор четности, построенный с помощью γ 5 . Я добавил правку в свой ответ.
(не четность, я имел в виду хиральность).
Как понять лагранжиан Дирака?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v