Имеет ли смысл относительный знак в уравнении Дирака?

Question

Имеет ли смысл относительный знак в уравнении Дирака?

Физика
фермионы
условности
уравнение Дирака
матрицы Дирака
лагранжев формализм

Патрик Амрейн

Я знаю, что есть много вопросов по этой теме, а также различные ответы, но никогда не говорится явно, почему перед массовым членом в лагранжиане Дирака стоит определенный знак. Я тоже в замешательстве, так как в тексте, за которым я следую, утверждается бездоказательно, что

Относительный знак между двумя скалярами Лоренца можно вывести, подразумевая, что уравнение движения должно удовлетворять уравнению Клейна-Гордона для каждой компоненты.

Но когда я попытался получить этот результат, сохраняя $\pm$ явно через все расчеты я увидел что выпадает все равно

л "=" я \bar{Ψ} (\partial_{мю} γ^{мю} \pm м) Ψ

$\mathcal{L} = i\bar{\Psi}(\partial_\mu \gamma^\mu \pm m)\Psi$

Уравнение Эйлера-Лагранжа дает

\frac{\partial л}{\partial \bar{Ψ}} - \partial_{мю} \frac{\partial л}{\partial (\partial \bar{Ψ})} "=" (я \partial_{мю} γ^{мю} \pm м) Ψ "=" 0.

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\Psi}} - \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\bar{\Psi})} = (i\partial_\mu\gamma^\mu \pm m)\Psi = 0.$

Умножение эрмитова сопряжения оператора слева

\begin{aligned} 0 & "=" (- я \partial_{ν} γ^{ν} \pm м) (я \partial_{мю} γ^{мю} \pm м) Ψ \\ "=" (\partial_{мю} γ^{мю} \partial_{ν} γ^{ν} \pm я м \partial_{мю} γ^{мю} \mp я м \partial_{ν} γ^{ν} + м^{2}) Ψ \\ "=" (\frac{1}{2} [\partial_{мю} γ^{мю} \partial_{ν} γ^{ν} + \partial_{мю} γ^{мю} \partial_{ν} γ^{ν}] + м^{2}) Ψ \\ "=" (\frac{1}{2} {γ^{мю}, γ^{ν}} \partial_{мю} \partial_{ν} + м^{2}) Ψ \\ "=" (\partial_{мю} \partial^{мю} + м^{2}) Ψ "=" 0, \end{aligned}

$\begin{align} 0 &= (-i\partial_\nu\gamma^\nu \pm m)(i\partial_\mu\gamma^\mu \pm m)\Psi \\ &=(\partial_\mu\gamma^\mu\partial_\nu\gamma^\nu \pm im\partial_\mu\gamma^\mu\mp im\partial_\nu\gamma^\nu+m^2)\Psi \\ &= (\frac{1}{2} \left[\partial_\mu\gamma^\mu\partial_\nu\gamma^\nu + \partial_\mu\gamma^\mu\partial_\nu\gamma^\nu\right] + m^2)\Psi \\ &= (\frac{1}{2}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\partial_\mu\partial_\nu + m^2)\Psi \\ &= (\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\Psi = 0, \end{align}$

где единичная матрица была подавлена. Таким образом, это действительно похоже на уравнение Клейна-Гордона для каждой компоненты спинора, но $\pm$ выпадает в начале.

Следовательно, мой вопрос имеет ли значение, какой знак мы выбираем (на уровне лагранжиана), и есть ли более глубокая причина, почему мы выбираем тот или иной?

лалала

Ваша лагранжева плотность, кажется, имеет i не в том месте.

Ответы (2)

Имеет ли смысл относительный знак в уравнении Дирака?

Ваша лагранжева плотность, кажется, имеет i не в том месте.

фидев · Answer 1

Скажем, $\Psi$ является решением уравнения Дирака, т. е.

(я γ^{мю} \partial_{мю} - м) Ψ "=" 0.

$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\Psi=0.$

Умножение на $\gamma^5$ и используя $\gamma^5\gamma^{\mu}=-\gamma^{\mu}\gamma^5$ ,

(я γ^{мю} \partial_{мю} + м) γ^{5} Ψ "=" 0.

$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}+m)\gamma^5\Psi=0.$ Таким образом,

γ^{5} Ψ

$\gamma^5\Psi$ также решение с массой

- m

$-m$ . Два решения соответствуют двум факторам

E^{2} = p^{2} + m^{2}

$E^2=p^2+m^2$ . Поскольку уравнение Дирака линейно, линейные комбинации его решений:

ψ_{L} = \frac{1}{2} (1 - γ^{5}) Ψ

$\psi_L=\frac{1}{2}(1-\gamma^5)\Psi$ и

ψ_{R} = \frac{1}{2} (1 + γ^{5}) Ψ

$\psi_R=\frac{1}{2}(1+\gamma^5)\Psi$ , также будут решения.

Все это в основном означает, что уравнение Дирака описывает два решения и в зависимости от выбора базиса (для $\gamma$ -матрицы) эти решения можно интерпретировать как частицы и античастицы (в дираковском базисе) или двухкомпонентные левые и правые спиноры Вейля (в киральном базисе). Эти компоненты по отдельности являются решениями уравнения Клейна-Гордона.

РЕДАКТИРОВАТЬ: обратите внимание, что в последнем выражении вопроса нет $\gamma$ -матрица, поэтому каждый компонент удовлетворяет уравнению КГ индивидуально. По факту исчезновения $\pm$ знак, я думаю, это связано с тем, что ЭОМ для обоих $\Psi$ и $\bar{\Psi}$ (уравнение Дирака и сопряженное к нему соответственно) можно получить из того же лагранжиана, варьируя его относительно $\bar{\Psi}$ и $\Psi$ , соответственно. Так что в этом смысле неважно, с чего начать (лагранжиана Дирака со знаком минус или его сопряженного со знаком плюс). Они несут одинаковую информацию; они просто рядом друг с другом!

Для подробного объяснения перейдите сюда .

Похожая тема вот эта .

Итак, изменение знака в лагранжиане соответствует переопределению того, что такое правый или левый спинор Вейля? Следовательно, было бы невозможно определить знак лагранжевого массового члена, просто заявив, что ЭОМ должны удовлетворять уравнению Клейна-Гордона?
@PatrickAmrein см. отредактированный ответ выше. Надеюсь, на этом дискуссия завершена.

Ахметели · Answer 2

Смена знака у массы в уравнении Дирака эквивалентна замене $\gamma^\mu$ с $-\gamma^\mu$ , но матрицы $-\gamma^\mu$ имеют те же антикоммутационные соотношения, что и $\gamma^\mu$ , так что вы получите эквивалентное уравнение, если я не ошибаюсь. Конкретные решения могут иметь разную форму, но физика, похоже, та же.

Имеет ли смысл относительный знак в уравнении Дирака?

Патрик Амрейн

лалала

Ответы (2)

фидев

Патрик Амрейн

фидев

Ахметели

Знак перед кинетическими терминами QFT

Диффеоморфизмы и действие Дирака

Построение лагранжиана Дирака без предположения об эрмитовых/антиэрмитовых γγ\gamma-матрицах

Производная по спинору свободного лагранжиана Дирака

Как понять лагранжиан Дирака?

Условие перенормировки для фермионов.

Пропущенный знак в уравнении Дирака

Связь между античастицей и сопряженной Дираком? бар символ

Частная производная лагранжиана Дирака по производным полей

Тензор энергии-импульса от действия поля материи